Question

Сбашни,высотой 25 м,горизонтально брошен камень со скоростью 15 м/с на каком расстоянии от основания башни он упадет на землю? с какой скоростью он упадет на землю? какой угол составит траектория камня с горизонтом в точке его падения на землю?

Answer 1

 Обозначим H=25m, v0=15 м/с, t1 - искомое время, x1 - расстояние от основания, v1 - искомая скорость, alpha - искомый угол. ^2 - квадрат, sqrt() - квадратный корень.

Введём систему координат с центром внизу башни.

Запишем систему уравнений движения по x и y:

x(t)=v0*t  (x0 в нашей СК =0, ускорение по оси х отсутствует, т.к. сопротивления воздуха нет)

y(t)=H-g*(t^2)/2 (y0=H, начальная скорость по условию только по x, ускорение равно "-g", т.к. ось Y направлена вверх), откуда и найдём всё, что нам нужно.

1) из второго уравнения сразу находим время:

 0=H-g*(t1^2)/2  => t1=sqrt (2*H/g) ~ 2.24 сек

2) Из первого уравнения, подставив t=t1, находим x1:

x1=v0*t1 = 2.24*15 ~   33.5 м

3) Взяв производную по времени от обоих уравнений движения, получим уравнения на компоненты скоростей:

Vx=v0 (что и так ясно)

Vy=-gt (знак минус потому что ось Y направлена вверх)

Теперь вспоминаем, что скорость - это ВЕКТОР. А надо найти, как я понял из условия, модуль скорости. Применяя теорему Пифагора, получим:

|v1| = sqrt(Vy^2+Vx^2) = sqrt((gt1)^2+(v0)^2) ~ 27 м/с

4) Напишем уравнение траектории:

(т.е. выразим из первого уравнения t через x , подставим во второе и получим функцию y(x)  ) :

y(x) = H - g/2*((x/v0)^2) - это парабола.

воспользуемся готовой формулой между касательной к графику функции в точке x1 и осью X:  

tg(alpha)=y'(x1) 

 Берём производную по x:

y'(x) = -gx/((v0^2), подставляем x=x1, затем берём арктангенс

alpha = arctg ( -gx1/((v0^2) ) = arctg (- 1.49) ~  124 градуса.

Напоминаю, что угол отсчитывается от оси X против часовой стрелки.