Question

Пару чисел назовем магической, если числа в паре в сумме делятся на 7. какое максимальное количество магических пар рядом стоящих чисел может получиться при выписывании всех чисел от 1 до 30 в ряд в некотором порядке?

Answer 1

Числа от 1 до 30 нужно выписать в некотором порядке, не обязательно по возрастанию.
Для поиска магических пар числа условно можно разбить на 4 группы:

1) Числа, кратные 7:   7;14;21;28
Их можно располагать в любом порядке, сумма любых двух соседних чисел будет кратна 7. 
В этой группе магических пар рядом стоящих чисел  3.

2) 1;  8;  15;  22;  29   строка А
    6; 13; 20;  27          строка В
Сумма любого числа из строки А и любого числа из строки В дает число, кратное 7. Так как в строке А чисел больше, с нее и нужно начать, чередуя числа со строкой В. Например, так
1, 6, 8, 13, 15, 20, 22, 27, 29
В этой группе магических пар рядом стоящих чисел  8.

3) 2;  9;  16;  23;  30   строка Б
    5; 12; 19;  26          строка Г
Сумма любого числа из строки Б и любого числа из строки Г дает число, кратное 7. Так как в строке Б чисел больше, с нее и нужно начать, чередуя числа со строкой Г. Например, так
2, 5, 9,12,16,19, 23, 26, 30
В этой группе магических пар рядом стоящих чисел  8.

4) 3; 10; 17; 24   строка Д
    4; 11; 18; 25   строка Е
Сумма любого числа из строки Д и любого числа из строки Е дает число, кратное 7. Чередовать их можно, например, так
3, 4, 10, 11, 17, 18, 24, 25
В этой группе магических пар рядом стоящих чисел  7.

Числа из разных групп дать в сумме число, кратное 7, не могут, поэтому на стыке групп магических пар не будет.

ответ: максимальное количество магических пар
3 + 8 + 8 + 7 = 26

(7,14,21,28),(1,6,8,13,15,20,22,27,29),(2,5,9,12,16,19,23,26,30),(3,4,10,11,17,18,24,25)