Согласно второму закону Ньютона для системы из N частиц:
dp→dt=F→,{\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}},}где p→{\displaystyle {\vec {p}}} импульс системы
p→=∑n=1Np→n,{\displaystyle {\vec {p}}=\sum _{n=1}^{N}{\vec {p}}_{n},}а F→{\displaystyle {\vec {F}}} — равнодействующая всех сил, действующих на частицы системы
F→=∑k=1N F→kext+∑n=1N∑m=1N F→n,m,m≠n,(1){\displaystyle {\vec {F}}=\sum _{k=1}^{N}\ {\vec {F}}_{k}^{ext}+\sum _{n=1}^{N}\sum _{m=1}^{N}\ {\vec {F}}_{n,m},\qquad m\neq n,\qquad \qquad (1)}Здесь F→n,m={\displaystyle {\vec {F}}_{n,m}=} — равнодействующая сил, действующим на n-ю частицу со стороны m-ой, а F→kext{\displaystyle {\vec {F}}_{k}^{ext}} — равнодействующая всех внешних сил, действующих k-ю частицу. Согласно третьему закону Ньютона, силы вида F→n,m{\displaystyle {\vec {F}}_{n,m}} и F→m,n{\displaystyle {\vec {F}}_{m,n}} будут равны по абсолютному значению и противоположны по направлению, то есть F→n,m=−F→m,n.{\displaystyle {\vec {F}}_{n,m}=-{\vec {F}}_{m,n}.}. Поэтому вторая сумма в правой части выражения (1) будет равна нулю, и получаем, что производная импульса системы по времени равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему:
dp→dt=∑k=1N F→kext(2).{\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=\sum _{k=1}^{N}\ {\vec {F}}_{k}^{ext}\qquad \qquad (2).}Внутренние силы исключаются третьим законом Ньютона.
Для систем из N частиц, в которых сумма всех внешних сил равна нулю
∑k=1N F→kext=0,{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\ {\vec {F}}_{k}^{ext}=0,}или для систем, на частицы которых не действуют внешние силы F→kext=0,{\displaystyle {\vec {F}}_{k}^{ext}=0,} (для всех k от 1 до n), имеем
ddt∑n=1Np→n=0.{\displaystyle \qquad {\frac {d}{dt}}\sum _{n=1}^{N}{\vec {p}}_{n}=0.}Как известно, если производная от некоторого выражения равна нулю, то это выражение есть постоянная величина относительно переменной дифференцирования, а значит:
∑n=1Np→n=const→{\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\vec {p}}_{n}={\overrightarrow {\mathrm {const} }}\qquad } (постоянный вектор).То есть суммарный импульс системы из N частиц, где N любое целое число, есть величина постоянная. При N=1 получаем выражение для одной частицы. Таким образом, следует вывод[1]:
Если векторная сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то импульс системы сохраняется, то есть не меняется со временем.
2. В тепловую енергию