Тело массой m и радиусом (или длиной) r начинает вращаться относительно оси, проходящей через его центр масс, таким образом, что угловое смещение меняется по заданному закону = где а, в, с – постоянные величины. найти, какую работу совершает над телом результирующий момент внешних сил за промежуток времени от t1 до t2. размерность величин а, в, сопределить самим. тело- сплошной цилиндр, m=500; r=5; закон изменения= фи=аt^4+bt+c; a=5; b=-1; c=3; t1=0,8; t2=0,9.
Шаг 1: Найдем угловую скорость (ω) тела в момент времени t1 и t2.
Угловая скорость (ω) определяется как производная углового смещения (φ) по времени (t). В формуле углового смещения, данной в условии задачи, нет переменной времени, поэтому сначала найдем первую производную углового смещения:
dφ/dt = 4a(t^3) + b.
Заменим значения переменных a и b на числовые значения из условия задачи:
dφ/dt = 4(5)(t^3) + (-1).
Теперь найдем угловую скорость (ω) подставив dφ/dt в формулу:
ω = dφ/dt = 4(5)(t^3) + (-1).
Теперь у нас есть угловая скорость (ω) в зависимости от времени (t).
Шаг 2: Найдем момент инерции (I) сплошного цилиндра.
Момент инерции (I) сплошного цилиндра равен половине произведения массы (m) на квадрат радиуса (r):
I = (1/2)mr^2.
Заменим значения переменных m и r на числовые значения из условия задачи:
I = (1/2)(500)(5^2) = 12500.
Теперь у нас есть значение момента инерции (I) сплошного цилиндра.
Шаг 3: Найдем работу совершенную результирующим моментом внешних сил (W) за промежуток времени от t1 до t2.
Работа совершается при приложении момента силы к вращающемуся телу и определяется по формуле:
W = ΔE = ΔK + ΔU,
где ΔK - изменение кинетической энергии, ΔU - изменение потенциальной энергии.
Из задачи известно, что результирующий момент сил можно представить в виде произведения момента инерции (I) на угловое ускорение (α):
M = Iα.
По определению, угловое ускорение равно производной угловой скорости (ω) по времени (t):
α = dω/dt.
Заменим значение ω в данной формуле на полученное значение из шага 1:
α = dω/dt = (d/dt)(4(5)(t^3) + (-1)) = 12(5)(t^2).
Теперь у нас есть значение углового ускорения (α) в зависимости от времени (t).
Так как величина момента сил (M) и углового ускорения (α) постоянные для данного тела и заданного временного интервала, то можно записать:
W = MΔφ = IαΔφ,
где Δφ - изменение углового смещения за промежуток времени от t1 до t2.
Так как в задаче дан закон изменения углового смещения, необходимо интегрировать его по времени от t1 до t2:
Δφ = ∫φ(t2) - φ(t1) dt.
Заменим формулу для углового смещения φ в данной задаче на заданный закон изменения:
Δφ = ∫(ат^4 + bt + c)dt.
Интегрируя данное выражение, получим:
Δφ = [(a/5)t^5 + (b/2)t^2 + ct] [от t1 до t2].
Теперь у нас есть значение изменения углового смещения (Δφ) за промежуток времени от t1 до t2.
Таким образом, работа совершаемая результирующим моментом внешних сил (W) за промежуток времени от t1 до t2 будет равна:
W = IαΔφ = (12500)(12(5)(t^2))[от t1 до t2].
Подставим значения переменных из условия задачи:
W = (12500)(12(5)(t^2))[от 0.8 до 0.9],
W = 7500000 [от 0.8 до 0.9].
Полученное значение W представляет работу совершенную результирующим моментом внешних сил за промежуток времени от t1 = 0.8 до t2 = 0.9.