1) Геометрическое место точек, равноудаленных от точек А и В - это серединный перпендикуляр к прямой АВ. Вектор АВ{Xb-Xa;Yb-Ya;Zb-Za} ={1;4-1}. Середина вектора АВ - точка Р((1+0)/2;(2-2)/2; (0-1)/2) или Р(0,5;0;-0,5) Теперь надо найти точку М(0;0;z), чтобы вектор МР был перпендикулярен вектору АВ. Вектор МР{0,5-0;0-0;z-(-0,5)} = {0,5;0;z+0,5}. Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов AB{1;4;-1} и MP{0,5;0;z+0,5}: (AB*MP) = Xab*Xco+Yab*Yco+Zab*Zco =1*0,5+4*0+(-1)*(z+0,5). Условие: 0-z=0 => z=0. ответ: z=0. 2) Векторы СО и АВ будут равными, если они сонаправлены и равны по модулю. Сонаправленные вектора, это вектора, координаты которых пропорциональны и коэффициент пропорциональности ПОЛОЖИТЕЛЕН. Вектор АВ{1-0;2-(-2);-1-0} = {1;4;-1}, вектор CO{0-x;0-y;0-0} = {-x;-y;0}. |AB|=√(1²+4²+(-1)²)=√18. |CO|=√((-x)²+(-y)²+0²). Если модули равны, то и квадраты модулей равны. x²+y² = 18. -x/1=-y/4 y=4x. x²+16x²=18 x²=18/17. x≈1,03 y²=18-18/17 =288/17 ≈17. y≈4,16. CO={1,03;4,16;0} 3) Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов ВА{-1;-4;1} и m{Xm;1;2}: (ВА*m)= 1*Xm+4*Ym+Zab*Zm Или (BA*m)= (-1)*Xco-4*1+1*2=0. => Xm= -2. ответ: Xm= -2.
Все грани прямоугольного параллелепипеда - прямоугольники.
Двугранный угол DABD₁ - это угол между плоскостями DAB и ABD₁.
АВ - ребро двугранного угла.
DA⊥AB как стороны квадрата,
DA - проекция наклонной D₁A на плоскость DAB, значит
D₁A⊥АВ по теореме о трех перпендикулярах.
DA⊥AB и D₁A⊥АВ,, значит ∠D₁AD - линейный угол двугранного угла D₁ABD.
ΔADC: ∠ADC = 90°, по теореме Пифагора
AD = √(AC² - CD²) = √(100 - 36) = √64 = 8 дм
ΔD₁AD: ∠D₁DA = 90°, DD₁ = AA₁ = 8√3 дм, AD = 8 дм,
tg∠D₁AD = D₁D / AD = 8√3 / 8 = √3
∠D₁AD = 60°