Question

Даны уравнения высот треугольника abc: 2x−3y+1 = 0,
x+2y+1 = 0 и координаты его вершины a(2, 3). найдите
уравнения сторон ab и ac треугольника.

Answer 1

Чтобы найти уравнения сторон ab и ac треугольника abc, нам нужно найти координаты вершин b и c.

Для начала, найдем координаты вершины b:
1. Решим систему из уравнений 2x - 3y + 1 = 0 и x + 2y + 1 = 0.
Существуют различные способы решения системы уравнений, но в данном случае воспользуемся методом подстановки.
Заменим значение x во втором уравнении на его выражение через y из первого уравнения:
x = -2y - 1
2. Подставим это выражение в первое уравнение:
2(-2y - 1) - 3y + 1 = 0
-4y - 2 - 3y + 1 = 0
-7y - 1 = 0
-7y = 1
y = -1/7
3. Теперь найдем значение x, подставляя найденное значение y в любое из исходных уравнений.
Используем первое уравнение:
2x - 3(-1/7) + 1 = 0
2x + 3/7 + 1 = 0
2x + 10/7 = 0
2x = -10/7
x = -5/7

Таким образом, координаты вершины b равны (-5/7, -1/7).

Теперь найдем координаты вершины c:
1. Решим систему из уравнений 2x - 3y + 1 = 0 и x + 2y + 1 = 0.
Заменим значение x во втором уравнении на его выражение через y из первого уравнения:
x = -2y - 1
2. Подставим это выражение в первое уравнение:
2(-2y - 1) - 3y + 1 = 0
-4y - 2 - 3y + 1 = 0
-7y - 1 = 0
-7y = 1
y = -1/7
3. Теперь найдем значение x, подставляя найденное значение y в любое из исходных уравнений.
Используем второе уравнение:
x + 2(-1/7) + 1 = 0
x - 2/7 + 1 = 0
x + 5/7 = 0
x = -5/7

Таким образом, координаты вершины c равны (-5/7, -1/7).

Теперь у нас есть координаты всех вершин треугольника abc: a(2, 3), b(-5/7, -1/7), c(-5/7, -1/7).

Чтобы найти уравнение стороны ab, воспользуемся формулой для уравнения прямой, проходящей через две точки: (y - y1)/(y2 - y1) = (x - x1)/(x2 - x1).
1. Подставим координаты вершин a(2, 3) и b(-5/7, -1/7) в формулу:
(y - 3)/((-1/7) - 3) = (x - 2)/((-5/7) - 2)
(y - 3)/(-22/7) = (x - 2)/(-19/7)
2. Упростим уравнение, умножив обе части на -7:
7(y - 3)/(-22) = 7(x - 2)/(-19)
(y - 3)/(-22) = (x - 2)/(-19)
(y - 3)/22 = (x - 2)/19

Таким образом, уравнение стороны ab треугольника abc равно (y - 3)/22 = (x - 2)/19.

Аналогично, чтобы найти уравнение стороны ac, воспользуемся формулой для уравнения прямой, проходящей через две точки: (y - y1)/(y2 - y1) = (x - x1)/(x2 - x1).
1. Подставим координаты вершин a(2, 3) и c(-5/7, -1/7) в формулу:
(y - 3)/((-1/7) - 3) = (x - 2)/((-5/7) - 2)
(y - 3)/(-22/7) = (x - 2)/(-19/7)
2. Упростим уравнение, умножив обе части на -7:
7(y - 3)/(-22) = 7(x - 2)/(-19)
(y - 3)/(-22) = (x - 2)/(-19)
(y - 3)/22 = (x - 2)/19

Таким образом, уравнение стороны ac треугольника abc также равно (y - 3)/22 = (x - 2)/19.