Question

Дан прямоугольный треугольник abc,угол c=90°,высота ch=4 см,hb-ah=6 см.найдите площадь треугольника abc​

Answer 1

Дано :

ΔАВС - прямоугольный (∠С = 90°).

СН - высота, СН = 4 см.

НВ - АН = 6 (см).

Найти :

S(ΔАВС) = ?

Решение :

Пусть НВ = х, а АН = у. Тогда х - у = 6 (см).

В прямоугольном треугольника квадрат высоты, проведённый к гипотенузе, равен произведению отрезков на которые он поделил эту гипотенузу.

Следовательно СН² = НВ*АН ⇒ 4² = ху ⇒ ху = 16.

Из формулы выведем х :

х - у = 6 (см) ⇒ х = 6 (см) + у.

И подставим её в выше сказанную формулу :

ху = 16

(6 + у)*у = 16

Решаем полученное уравнение :

у² + 6у - 16 = 0

а = 1, b = 6, с = -16.

D = b² - 4ac = 6² - 4*1*(-16) = 36 + 64 = 100

√D = √100 = 10.

$y_{1} = \frac{-b+\sqrt{D} }{2a} = \frac{-6+10}{2*1} = \frac{4}{2} = 2\\\\y_{2} = \frac{-b-\sqrt{D} }{2a} = \frac{-6-10}{2*1} = \frac{-16}{2} = -8$

y₂ - не удовлетворяет условию задачи, так как длины отрезков не могут быть выражены отрицательными числами. Следовательно, у = 2 (см).

Тогда х = 6 (см) + 2 (см) = 8 (см).

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны и высоты, опущенной на эту сторону.

Отсюда S(ΔАВС) = 0,5*АВ*СН = 0,5*(х + у)*4 (см) = 2 (см)*(8 см + 2 см) = 2 (см)*10 (см) = 20 (см²).

ответ :

20 см².