Турист гуляя в окрестностях кольсайских озёр, оказался в пункте a (-3; -2). ближайшие гостевые дома, где бы он мог остановится на ночлег, соответствуют на карте точкам b (-2; -3) c (5; 3) d (3; -4) 4
Углы ВСО и DAO - накрест лежащие углы при пересечении двух прямых ВС и AD секущей АС. По условию они равны, значит, ВС II AD. Треугольники ВОС и DOA равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треуг-ов): - <BCO=<DAO по условию; - <BOC=<DOA как вертикальные углы; - АО=СО по условию. У равных треугольников равны и соответственные стороны ВО и DO. Рассмотрим треуг-ки ВОА и DOC. Они равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треуг-ов): - ВО=DO как только что доказано; - АО=СО по условию; - углы ВОА и DОС равны как вертикальные.
Т.к. ∠AMB=∠BMC=∠CMA=360/3=120 , то значит точка М - точка Торричелли (точка треугольника, из которой все стороны видны под углом в 120°). 1) Eсли построить на стороне BC треугольника ABC внешним образом правильный треугольник A1BC, то точка М будет лежать на окружности, описанной около треугольника A1BC (∠BMC=120, ∠BА1C=60), с радиусом R1=BC/√3=9/√3. Эта же окружность описана и около треугольника МВС, значит можно найти его площадь Smbc=MB*MC*BC/4R1=MB*MC*√3/4. 2) точно так же строим на стороне АС равносторонний треугольник АВ1С, для него R2=AC/√3=4/√3, Smac=MA*MC*AC/4R2=MA*MC*√3/4. 3) aналогично на стороне АВ построим треугольник АС1В, для него R3=AB/√3=6/√3, Smab=MA*MB*AB/4R3=МА*МВ*√3/4. 4) площадь треугольника АВС находим по ф.Герона Sabc=√р(р-АВ)(р-ВС)(р-АС)=√9,5*3,5*0,5*5,5=0,25√1463, где полупериметр р=(АВ+ВС+АС)/2=(9+4+6)/2=9,5. 5) Tакже площадь Sabc=Smbc+Smac+Smab, подставим: 0,25√1463=√3/4*(MB*MC+MA*MC+MA*MB), значит MB*MC+MA*MC+MA*MB=0,25√1463:√3/4=√1463/3. 6) Теперь применим теорему косинусов: - для треугольника МВС ВС²=МС²+МВ²-2МС*МВ*соs 120. cos 120=-1/2 81=МС²+МВ²+МС*МВ - для треугольника МАС АС²=МС²+МА²-2МС*МА*соs 120. 16=МС²+МА²+МС*МА - для треугольника МАВ АВ²=МА²+МВ²-2МА*МВ*соs 120. 36=МА²+МВ²+МА*МВ 7) если все 3 выражения сложить, получится 81+16+36=МС²+МВ²+МС*МВ+МС²+МА²+МС*МА+МА²+МВ²+МА*МВ 133=2(МС²+МА²+МВ²)+(МС*МВ+МС*МА+МА*МВ) 133=2(МС²+МА²+МВ²)+√1463/3 МС²+МА²+МВ²=(133-√1463/3)/2≈(133-22,08)/2=55,46≈55
Треугольники ВОС и DOA равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треуг-ов):
- <BCO=<DAO по условию;
- <BOC=<DOA как вертикальные углы;
- АО=СО по условию.
У равных треугольников равны и соответственные стороны ВО и DO.
Рассмотрим треуг-ки ВОА и DOC. Они равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треуг-ов):
- ВО=DO как только что доказано;
- АО=СО по условию;
- углы ВОА и DОС равны как вертикальные.