№1. все рёбра тетраэдра sabc равны. точки m, n, p, r –
середины рёбер bs, as, bc, ab. укажите верное утвер
ждение.
1) nm = -0, 5ав
2) nr=mp
3) |pr|=|nm|
4) | mp|= 2 |sc |
№ 2. дан параллелепипед abcda1,b1,c1,d1. найдите вектор
a = da1 + bc + ba, началом и концом которого служат
вершины данного параллелепипеда.
№ 3. выражение bc + ea + df + ce — kf + ad.
№1. все рёбра тетраэдра sabc равны. точки m, n, p, r — середины рёбер bs, as, bc, ab. укажите верное утверждение.
1) nm = -0,5ав
2) nr = mp
3) |pr| = |nm|
4) |mp| = 2|sc|
Для решения этого вопроса, обратимся к свойству, согласно которому середины ребер тетраэдра соединяются отрезками с концами тех ребер, через которые проходят. Таким образом, ребро NR будет соединять середины ребер BS и AS, а ребро MP - середины ребер BC и AB.
1) Натуральная мера NM равна половине ребра AS, так как M - середина ребра AS. По условию, все ребра равны, поэтому это утверждение неверно.
2) Натуральная мера NR равна половине ребра AS, так как R - середина ребра AS. По условию, все ребра равны, поэтому это утверждение верно.
3) Натуральная мера PR будет равна натуральной мере NM, так как P и N - середины соответствующих ребер BC и AB. По условию, все ребра равны, поэтому это утверждение верно.
4) Натуральная мера MP будет равна удвоенной натуральной мере SC, так как M - середина ребра BC, а C - один из концов этого ребра. По условию, все ребра равны, поэтому это утверждение верно.
Таким образом, верные утверждения в данном случае: 2) nr = mp и 4) |mp| = 2|sc|.
№2. дан параллелепипед ABCDA1, B1, C1, D1. найдите вектор a = DA1 + BC + BA, началом и концом которого служат вершины данного параллелепипеда.
Чтобы найти вектор a, нам нужно сложить векторы DA1, BC и BA.
1) Вектор DA1 можно найти, вычитая координаты начала и конца этого вектора: DA1 = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).
2) Вектор BC можно найти, вычитая координаты начала и конца этого вектора: BC = (x4 - x3, y4 - y3, z4 - z3).
3) Вектор BA можно найти, вычитая координаты начала и конца этого вектора: BA = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).
4) Сложим эти три полученных вектора: a = DA1 + BC + BA.
В результате получим вектор a, начало и конец которого являются вершинами данного параллелепипеда.
№3. выражение BC + EA + DF + CE — KF + AD.
Чтобы упростить данное выражение, сложим векторы, которые входят в него:
BC + EA + DF + CE - KF + AD = (x4 - x3, y4 - y3, z4 - z3) + (x5 - x1, y5 - y1, z5 - z1) + (x6 - x4, y6 - y4, z6 - z4) + (x3 - x5, y3 - y5, z3 - z5) - (x6 - x2, y6 - y2, z6 - z2) + (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2).
При сложении и вычитании векторов, необходимо сложить или вычесть их соответствующие координаты:
(x4 - x3 + x5 - x1 + x6 - x4 + x3 - x5 - x6 + x2 - x1, y4 - y3 + y5 - y1 + y6 - y4 + y3 - y5 - y6 + y2 - y1, z4 - z3 + z5 - z1 + z6 - z4 + z3 - z5 - z6 + z2 - z1).
Подвыражения вида x4 и -x4, y5 и -y5 и т.д. взаимно уничтожаются:
(0 + x5 - x1 + 0 + 0 + x2 - x1, 0 + y5 - y1 + 0 + 0 + y2 - y1, 0 + z5 - z1 + 0 + 0 + z2 - z1).
Таким образом, упрощенное выражение будет:
(x5 - x1 + x2 - x1, y5 - y1 + y2 - y1, z5 - z1 + z2 - z1).
Это и есть итоговое упрощенное выражение для BC + EA + DF + CE - KF + AD.