В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен 60 градусов,длина бокового ребра равна 4 см. Найдите объём пирамиды.
В правильной треугольной пирамиде основанием служит правильный треугольник. Грани пирамиды - равнобедренные треугольники, т.к. боковые ребра равны. По условию плоский угол при вершине равен 60°. Следовательно, углы при основании боковых граней также равны 60°, и эти грани - равносторонние треугольники. Стороны основания равны боковым ребрам и равны 4 см Объем пирамиды равен одной трети произведения площади её основания на высоту. Так как все ребра пирамиды равны, их проекции на основание также равны, и поэтому основание высоты КО пирамиды находится в точке О пересечения высот основания АВС пирамиды. Высоту КО найдем из прямоугольного треугольника АКО, где катеты КО и АО и гипотенуза АК. Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. АО -2/3 высоты АН ( которая в равностороннем треугольнике является и медианой) АН=АВ*sin(60°)=2√3 см АО=2*(2√3):3=(4√3):3 см КО=√(АК²-АО²)=√(16-48/9)=√(96/9)=(4√6):3 см V=Sh:3 S= (a²√3):4=16√3):4=4√3 см² V=(4√3)*(4√6):3):3=(16√2):3 см³
Условие:
ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямоугольный параллелепипед, B₁C = 20, B₁A = 13, AD - AB = 11. Найти AA₁.
Каждое ребро прямоугольного параллелепипеда перпендикулярно его двум параллельным граням⇒ B₁B ⊥ AB, B₁B ⊥ BC
Каждая грань прямоугольного параллелепипеда является прямоугольником⇒ AD = BC, A₁A = B₁B
AD - AB = 11 ⇒ BC - AB = 11 ⇒ BC = AB + 11
Пусть АВ = х, тогда ВС = х + 11
Рассмотрим прямоугольный ΔАВВ₁: По теореме Пифагора
АВ₁² = АВ² + В₁В² ⇒ В₁В² = АВ₁² - АВ²
Рассмотрим прямоугольный ΔСВВ₁: По теореме Пифагора
В₁С² = ВС² + В₁В² ⇒ В₁В² = В₁С² - ВС²
Значит, АВ₁² - АВ² = В₁С² - ВС²
13² - х² = 20² - (х + 11)²
169 - х² = 400 - х² - 22х - 121
22х = 110
х = 5 ⇒ АВ = 5 и ВС = 5 + 11 = 16
Рассмотрим прямоугольный ΔАВВ₁: По теореме Пифагора
В₁В² = АВ₁² - АВ² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144
АА₁ = В₁В = 12
ответ: 12