Question

Втрапецию меньшее основание которой равно 1 вписана окружность радиуса 1.5 найдите радиус окружности описанной около этой трапеции если известно что эта окружночть существует

Answer 1

Решим данную задачу обобщённым Начнём с теории:

Если в трапецию вписана окружность, то сумма его оснований равна сумме боковых сторон, BC + AD = AB + CDЕсли около трапеции описана окружность, то сумма его противолежащих углов равна 180°. Это означает, что данная трапеция является равнобокой, AB = CDВ равнобокой трапеции её высота равна диаметру вписанной окружности, BH = d = 2rПо свойству равнобокой трапеции высота, опущенная на бо'льшее основание, делит её на два отрезка, бо'льший из которых равен полусумме оснований, а ме'ньший - полуразности оснований

Пусть BC = a, AD = b, BH = 2r, тогда HD = (b + a)/2, AH = (b - a)/2

AB + CD = BC + AD = a + b  ⇒  AB = CD = (b + a)/2

В ΔABH применим теорему Пифагора:  BH² + AH² = AB²

(2r)² + ( (b - a)/2 )² = ( (b + a)/2 )²

Умножаем обе части на 4 и раскрываем скобки:

16r² + b² - 2ab + a² = b² + 2ab + a²

16r² = 4ab  ⇒  r² = ab/4  ⇒  r = √(ab)/2  ⇒  BH = d = √ab

В ΔBHD:   BD² = BH² + HD²  = (2r)² + ( (b + a)/2 )²

4BD² = 16r² + b² + 2ab + a² = b² + 6ab + a²

BD = √(b² + 6ab + a²)/2

В ΔABH:  sin∠A = BH/AB = 2r/(b + a)/2 = 4r/(b + a) = 2√(ab)/(b + a)

По теореме синусов  в ΔABD:   R = BD/(2•sin∠A)

$R=\frac{\sqrt{b^{2}+6ab+a^{2}}}{2}:\frac{4\sqrt{ab}}{b+a}=\frac{(b+a)*\sqrt{b^{2}+6ab+a^{2}}}{8\sqrt{ab}}=\frac{b+a}{8}*\sqrt{\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+6}\\\\$

Обобщённая формула  для нахождения радиуса описанной около трапеции окружности через известные основания, а и b

$R=\frac{(4r^{2}+a^{2})*\sqrt{(4r^{2}+a^{2})^{2}+16a^{2}r^{2}}}{16a^{2}r}\\\\$

Обобщённая формула  для нахождения радиуса описанной окружности через известный радиус вписанной окружности и основание

Подставляем в формулу a = 1 , r = 1,5  и находим искомый радиус:

4r² = (2r)² = 3² = 9  ,   a² = 1² = 1

$R=\frac{10*\sqrt{136}}{24}=\frac{10*2\sqrt{34}}{24}=\frac{5\sqrt{34}}{6}\\\\$

Несложно найти все стороны данной трапеции: BC = 1 , AD = 9 , AB = CD = 5

Также можно заметить, в ΔABH:   cos∠A = AH/AB

cos∠A = (b-a)/2 / (b+a)/2 = (b - a)/(b + a)

∠A = ∠D = arccos( (b - a)/(b + a) )

ответ: 5√(34)/6