1) ДАСВ ~ ДАВС по 1-му признаку подобия прямоугольных треугольников: если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то
|||такие треугольники подобны. А у ДACD и ∆АВС общий острый угол А.
2) Катет AC прямоугольного ДАВС лежит против угла <В = 30°, значит АС равен половине гипотенузы АВ: АС = 0,5AB = 0,5-12 = 6 (см).
Найдём коэффициент подобия АСВ и ДАВС по отношению их гипотенуз AC : AB = 6/12 = 1/2. Следовательно, коэффициент подобия этих треугольников k = 1/2. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
S(ДАCD) : S(ДАВС) = k² = 1 : 4.
3) Найдём величину катета ВС, используя теорему Пифагора:
BC = √(AB² - AC²) = √(12² - 6²) = √108 = 6√3 (CM)
Известно, что биссектриса угла делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к углу сторонам. Поэтому СЕ : BE = AC: AB = 1/2.
Тогда СЕ = 1/3 · ВС = 2√3 (см) и ВЕ = 2/3 BC = 4√3 (см)
Координаты середины отрезка с концами в точках (x₁;y₁) и (x₂;y₂) находятся по формуле
x₀ = (x₁+x₂)/2;
y₀ = (y₁+y₂)/2;
тогда (x₀;y₀) - середина.
Пусть искомая точка (x;y), тогда точка (-1;3) должна быть серединой отрезка с концами в точках (2;9) и (x;y).
Поэтому
-1 = (2+x)/2;
3 = (9+y)/2.
Решаем эти два уравнения
-2 = 2+x;
6 = 9+y;
x = -2-2 = -4;
y = 6-9 = -3.
Искомая точка (x;y) = (-4;-3)
б) Пусть искомая точка (x;y)
Аналогично, начало координат (0;0) должно быть серединой отрезка
с концами в точках (a;b) и (x;y). Тогда
0 = (a+x)/2;
0 = (b+y)/2;
отсюда находим
0 = a+x;
0 = b+y;
x = -a;
y = -b;
Искомая точка (x;y)=(-a;-b).