Проведем биссектрису DE и отрезок EF, параллельно основанию AD. Тогда EF - средняя линия трапеции ABCD. Треугольник DEF равнобедренный, так как <EDA=<DEF (как внутренние накрест лежащие при параллельных EF и AD и секущей DE), а <FDE=<EDA (так как DE - биссектриса). Тогда EF=FD=39/2=19,5 Это средняя линия трапеции. Значит основание AD = 39 -12 = 27 (так как (AD+BC)/2=39, а ВС=12). Проведем высоты ВН и СК. Естественно, что ВН=ВК. Из треугольников АВН и КСD по Пифагору выразим ВН² и СК²: (1)ВК² = 36²-АН². (2)СК² = 39²-КD². Но KD=AD - AH - HK= 27-AH - 12 = 15-AН (так как НК=ВС). Значит СК² = 39²-(15-АН)². Приравняем оба выражения (1) и (2): 36²-АН² = 39² - 15² +30*АН -АН². 30*АН = 36²-39²+15²= 0 !! Следовательно, трапеция-то прямоугольная! (но это и не важно). Высота ее из (1) равна h = 36. Тогда площадь трапеции S = [(AD+BC)/2]*BH = 19,5*36 = 702.
По теореме Пифагора
a²+b²=16²
S=a·b/2
Решаем систему двух уравнений с двумя неизвестными
a²+b²=256
a·b=64√2 ⇒ b=64√2/a
a²+(64√2/a)²=256
a⁴-256a²+8192=0
D=256²-4·8192=65536-32768=32768=(128√2)²
a²=(256-(128√2))/2=128-64√2 или а²=(256+(128√2))/2=128+64√2
a₁=√(128-64√2)=8·√ (2-√2) или a₂=8·√(2+√2)
b₁=64·√2/8√(2-√2) =8·√2·√(2+√2)/ √(2-√2)√(2+√2)=
=8√2·√(2+√2)/√(2²-(√2)²)=
=8√2·√(2+√2)/√2= 8·√(2+√2)
b₂=64√2/8√(2+√2) =8√2·√(2-√2)/ √(2-√2)√(2+√2)=
=8√2·√(2-√2)/√(2²-(√2)²)=
=8√2·√(2-√2)/√2= 8·√(2-√2)
tgα=a₁/b₁=8·√(2-√2)/8·√(2+√2) =√(2-√2)/√(2+√2)=
=√(2-√2)√(2-√2)/√(2+√2)√(2-√2)=
=√(6-4√2)/√2=√(3√2-4)
или
tgα=a₂/b₂=8·√(2+√2)/8·√(2-√2) =√(2+√2)/√(2-√2)=
=√(2+√2)√(2+√2)/√(2+√2)√(2-√2)=
=√(6+4√2)/√2=√(3√2+4)