Question

Два прямоугольных треугольника ас в и acm с прямым углом в вершине с имеют общий катет ас. прямые ас и вм скрещиваются. докажите, что: а) см — проекция наклонной вс на плоскость амс; б) св — проекция наклонной мс на плоскость abc​

Answer 1

Для более понятного объяснения, я воспользуюсь графической схемой для визуализации шагов решения задачи.

А) Докажем, что SM является проекцией наклонной VС на плоскость АМС.

1. Начнем с построения прямоугольного треугольника ACM с прямым углом в вершине С и общим катетом АС. Катет АС будет обозначаться как СС1, а гипотенуза АМ будет обозначаться как ММ1.

С
/|
/ |
С1 /__|
/ |
/ |
М /_________|
А М1

2. Построим наклонную VС, которая пересекает прямые АС и ММ1 в точках V и S соответственно.

S
/ |
/ |
V/___|
/ |
/ |
М /______|
А М1

3. Требуется доказать, что SM является проекцией наклонной VC на плоскость AMC. Для этого нужно показать, что SM перпендикулярна плоскости AMC.

Рассмотрим треугольники VCA и SMA:

- У них одинаковая боковая сторона VA;
- У них также одинаковый угол между боковой стороной и гипотенузой: угол VAM равен углу SAM;
- Следовательно, по признаку гомотетии эти треугольники подобны, что означает, что углы VCA и SMA равны между собой.

Так как угол VCA равен 90° (из определения прямого угла), то угол SMA также равен 90°.

Значит, SM перпендикулярна плоскости AMC, что и требовалось доказать. SM является проекцией наклонной VC на плоскость AMC.

Б) Докажем, что SV является проекцией наклонной МС на плоскость ABC.

1. Начнем с построения прямоугольного треугольника ABC с прямым углом в вершине C и общим катетом AC. Катет AC будет обозначаться как CC2, а гипотенуза AB будет обозначаться как BB2.

B
/ |
/ |
C/___|
/ |
/ |
A /______|
M B2

2. Построим наклонную МС, которая пересекает прямые AC и BB2 в точках M и S соответственно.

B
/ |
/ |
S /___|
/ |
/ |
A /______|
M B2

3. Требуется доказать, что SV является проекцией наклонной МС на плоскость ABC. Для этого нужно показать, что SV перпендикулярна плоскости ABC.

Рассмотрим треугольники SMC и SVA:

- У них одинаковая боковая сторона SC;
- У них также одинаковый угол между боковой стороной и гипотенузой: угол SMC равен углу SVA;
- Следовательно, по признаку гомотетии эти треугольники подобны, что означает, что углы SMC и SVA равны между собой.

Так как угол SMC равен 90° (из определения прямого угла), то угол SVA также равен 90°.

Значит, SV перпендикулярна плоскости ABC, что и требовалось доказать. SV является проекцией наклонной МС на плоскость ABC.