Дана правильная треугольная пирамида SABC, её высота H = SO = 24, апофема A = SD = 25. Hайти расстояние CK от C до плоскости SAB.
Найдём проекцию OD апофемы А на основание АВС. OD = √(A² - H²) = √(25² - 24²) = √(625 - 576) = √49 = 7. Рассмотрим осевое сечение пирамиды через ребро CS и апофему SD. Высота СК на апофему и является искомым расстоянием от С до плоскости SAB. CD - высота основания, она равна трём отрезкам OD: CD = 3*7 = 21. Треугольники SOD и CKD подобны по двум углам (один прямой, второй взаимно перпендикулярный).CK/CD = SO/SD. CK = SO*CD/SD = 24*21/25 = 504/25 = 20,16.
Значит, все боковые грани - равносторонние треугольники, а основание - квадрат.
а) найти угол между боковой гранью и основанием.
Найдём апофему А (она и высота):
А = а*cos 30° = a√3/2.
Косинус угла α равен: cos((a/2)/A) = (a/2)/(a√3/2) = 1/√3 = √3/3 ≈ 0,57735.
Тогда угол равен: α = arccos 0,57735.
Угол α = 0,955317 радиан или 54,73561 градуса.
б) угол β между боковым ребром и основанием.
β = arc cos((а√2/2)/а) = arccos(√2/2) = 45°.
в) высота пирамиды Н равна:
Н = √а² - (а√2/2)²) = а√2/2.
г) Sбок = (1/2)PA = (1/2)*(4a)*(a√3/2) = a²√3.
д) Vпир. = (1/3)SoH = (1/3)a²*(a√2/2) = a³√2/6.