Question

Треугольники abc и a1b1c1 равнобедренные с основанием cb и c1b1, причём ab = a1b1 и bc = b1c1. докажите, что биссектриса ch = c1h1. ​

Answer 1

Для доказательства равенства биссектрис CH и C1H1 требуется показать, что угол BCH равен углу BC1H1. Давайте разберемся, как это сделать.

Из условия задачи известно, что треугольник ABC является равнобедренным, то есть стороны AB и BC равны между собой. Также, треугольник A1B1C1 также равнобедренный, с основаниями C1B1 и B1A1.

Для начала, давайте представим себе треугольник ABC и треугольник A1B1C1:

A
/\
/ \
/ \
B------C

A1
/\
/ \
/ \
B1----C1

У нас есть равные основания BC и B1C1. Значит, углы B и B1 равны между собой.

Теперь давайте представим себе равные углы B и B1:

A
/\
/ \
/ \
B------C

A1
/\
/ \
/ \
B1----C1

Поскольку у нас равнобедренные треугольники, то углы ABC и A1B1C1 смежные углы, и каждый из них равен половине величины угла B и B1 соответственно.

A
/\
/ \ b
/ \
B------C
/\
a/ \a

A1
/\
b/ \ b
/ \
B1----C1
/\
a1/ \ a1

Мы видим, что углы CAB и CA1B1 являются вертикальными углами и равны между собой, так как они являются смежными углами у равнобедренных треугольников.

Теперь давайте обратимся к биссектрисам CH и C1H1:

A
/\
/ \
/ \
B------C
/\
h/ \h

A1
/\
h/ \ h
/ \
B1----C1
/\
h1/ \ h1

Поскольку углы CAB и CA1B1 равны (как мы только что доказали), то биссектрисы CH и C1H1 будут делить эти углы на две равные части.

Следовательно, главная идея заключается в том, что биссектрисы, выпущенные из вершин C и C1 внутри равнобедренных треугольников, также будут равны.

В результате, мы доказали, что биссектриса CH равна биссектрисе C1H1.