Четырёхугольник MNKP - прямоугольник.
Отрезки MK и NP - диагонали.
Точка О - точка пересечения диагоналей.
∠MON = 64°.
Найти :∠ОМР = ?
Решение :Диагонали прямоугольника равны между собой и, по свойству параллелограмма, пересекаясь, делятся пополам.Отсюда имеем, что -
Рассмотрим ΔМОР - равнобедренный (так как равны две стороны).
Причём МО и ОР - боковые стороны.
Углы у основания равнобедренного треугольника равны (они-то как раз и лежат против боковых сторон).Поэтому -
∠ОМР = ∠ОРМ.
∠NOM - внешний для ΔМОР.
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.Отсюда -
∠NOM = ∠ОМР + ∠ОРМ
∠ОМР + ∠ОРМ = 64°
Учитывая равенство углов -
∠ОМР = 64° : 2 = 32°.
ответ :32°.
№2.Дано :Четырёхугольник ABCD - равнобокая (равнобедренная) трапеция.
Один из углов больше другого на 30°.
Найти :∠А = ?
∠В = ?
∠С = ?
∠D = ?
Решение :Про какие именно углы идёт речь в задаче?
Дело в том, что -
Углы у основания равнобедренной трапеции равны (на рисунке выделены дугами).Отсюда -
∠D не может быть больше ∠С на 30°, потому что они равны.
Аналогично и с ∠А и ∠В.
Возьмём ∠D за х, тогда остаётся что ∠А = х+30°.
Сумма внутренних углов любого четырёхугольника равна 360°.Составляем уравнение и решаем его -
∠А + ∠В + ∠С + ∠D = 360°
(х + 30°) + (х + 30°) + х + х = 360°
4х + 60° = 360°
4х = 300°
х = 75°.
∠А = х + 30° = 75° + 30° = 105°
∠В = х + 30° = 75° + 30° = 105°
∠С = х = 75°
∠D = х = 75°.
ответ :105°, 105°, 75°, 75°.
№3.Дано :Четырёхугольник ABCD - параллелограмм.
Стороны АВ и ВС - смежные.
ВС : АВ = 3 : 1.
Р(ABCD) = 40 см.
Найти :АВ = ?
ВС = ?
CD = ?
AD = ?
Решение :Пусть АВ = х, тогда ВС = 3х.
Периметр параллелограмма равен удвоенно сумме его смежных сторон.Отсюда -
Р(ABCD) = 2*(АВ + ВС)
40 см = 2*(х + 3х)
х + 3х = 20 см
4х = 20 см
х = 5 см.
АВ = х = 5 см
ВС = 3х = 3*5 см = 15 см.
Противоположные стороны параллелограмма равны.Отсюда -
АВ = CD = 5 см
ВС = AD = 15 см.
ответ :5 см, 15 см, 5 см, 15 см.
№4.Дано :Четырёхугольник ABCD - прямоугольная трапеция.
Разность двух углов, прилежащих к боковой стороне = 48°.
Найти :∠А = ?
∠В = ?
∠С = ?
∠D = ?
Решение :∠А = ∠В = 90° (по определению прямоугольной трапеции).
Подмечу, что они действительно "прилегают" к боковой стороне. Но их разность не может быть равна 48°, так как они равны (90° - 90° = 0).
Поэтому, углы которые "прилегают" к боковой стороне CD точно должны давать в разности 48°.
Пусть ∠С = х (больший угол), а ∠D = у (меньший угол).
Сумма двух углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.Составим систему и решим её -
1)
2)
∠C = x = 114°
∠D = y = 66°.
ответ :90°, 90°, 114°, 66°.
f(x) = y(x0) + y ' (x0)*(x - x0)
1) Найдем производную
y ' (x) = 4x - 3
y ' (x0) = f ' (2) = 4*2 - 3 = 5
2) y(x0) = y(2) = 2*2^2 - 3*2 - 5 = 8 - 6 - 5 = -3
3) Касательная
f(x) = -3 + 5(x - 2) = -3 + 5x - 10 = 5x - 13
4) Найдем точки пересечения касательной с осями координат
x = 0: f(0) = -13;
f(x) = 0: 5x - 13 = 0; x = 13/5
5) Этот треугольник - прямоугольный с катетами 13 и 13/5.
Его площадь равна половине произведения катетов.
S = 1/2*13*13/5 = 169/10 = 16,9
ответ: 1. 16,9