1) Если параллелограмм можно вписать в окружность, то он квадрат.
Утверждение неверное.
Если четырёхугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов, равна 180°. Поскольку противоположные углы параллелограмма равны, то каждый из них равен 90°. Поэтому если параллелограмм можно вписать в окружность, то он может быть прямоугольником или квадратом, то есть не всегда квадрат.
2) Средняя линия треугольника делит его площадь пополам.
Утверждение неверное.
Средняя линия треугольника делит его площадь в отношении 1:3, считая от вершины. (Пусть а-основание, h - высота, опущенная на сторону а. Тогда площадь треугольника S = 0.5 ah. Средняя линия, параллельная стороне а, равна 0,5а, а высота, опущенная из вершины треугольника на среднюю линию, равна 0,5h. Тогда площадь отсекаемого средней линией треугольника равна s = 0.5 · 0.5 a · 0.5h = 0.125ah, то есть s = 0,25 S. Площадь другой отсечённой части, представляющей собой трапецию, равна S - 0.25S = 0.75S.
0,25S : 0.75S = 1:3)
3) Если два угла вписаны в одну окружность и опираются на одну ее хорду, то они равны.
Утверждение неверное.
Если два угла вписаны в одну окружность и опираются на одну хорду, то они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды, если же их вершины находятся по разные стороны от хорды, и один из углов равен α, то другой угол равен 180° - α.
4) Если в равнобокую трапецию можно вписать окружность, то ее средняя линия равна боковой стороне.
Утверждение верное.
Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон его равны между собой.
Пусть боковая сторона трапеции равна а, тогда сумма боковых сторон равна 2а, и сумма оснований равна 2а. А средняя линия равна полусумме оснований. то есть а.
Объяснение: В ΔМNK из точки М проведите дугу окружности так, чтобы пересечь прямую NK в двух точках Р и Q. Затем поочереди из двух точек Р и Q проведите дуги одинакового радиуса на полу- плоскости относительно прямой NK, где нет точки М. Назовём точку пересечения этих дуг точкой А. Соединим М и А, получим МН ⊥ NK.
Описание: 1) окр (М; r) ∩ MK, получим Р и Q.
2) окр (Р; R) ∩ окр (К; R) = А.
3) МА ∩ NK = Н, МН- искомая высота Δ МNК.
В ΔСДР проведём поочерёдно две дуги одинаковым радиусом больше половины отрезка ДР навстречу друг другу из точек Д и Р. Эти дуги пересекутся в двух точках М и N. Соединим отрезком точки М и N.
Точку пересечения МN и ДР обозначим точкой К. Проведём отрезок СК, который и будет медианой ΔСДР.
Описание: 1)окр (Д; R) ∩ окр(Р; R), получим М и N.
2) MN ∩ ДР = К, СК- искомая медиана ΔСДР.
P.S. Если непонятно обозначение окружности в описании, то:
окр ( Р; R) - обозначение окружности с центром в Р и радиусом R.