Первые три задания.
Объяснение:
7. а) Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, BC=19см, AD=36см. АВ=CD, АС - биссектриса угла <BAD.
Если диагональ трапеции является биссектрисой ее острого угла, то меньшее основание равно боковой стороне трапеции, прилежащей к этому углу.
Это утверждение доказывается через накрест лежащие углы <BCA и <CAD, если нужно.
=> BC=AB=CD=19см, => P(ABCD)=AB+BC+CD+AD=19*3+36=93см
7. б) Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, BC=19см, AD=36см. АВ=CD, АС - биссектриса угла <АВС.
Если диагональ трапеции является биссектрисой ее тупого угла, то большее основание равно боковой стороне трапеции, прилежащей к этому углу.
Это утверждение доказывается через накрест лежащие углы <CBD и <ADB, если нужно.
=>AD=AB=CD=36см, =>P(ABCD)=AB+BC+CD+AD=36*3+19=127см
8. Пусть диагонали четырёхугольника MNKP пересекаются в точке О.
<KOP=<OMP+<MPO=16+34=50° (как внешний угол для △МОР). Тогда в △KOP <KPO=180-<KOP-<OKP=180-50-58=72°, <MPK=<MPO+<KPO=34+72=106°.
Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° => <MNK=180-<MPK=180-106=74°
<MPN и <MKN опираются на одну и ту же дугу MN, значит <MPN=<MKN=34° => <PKN=<OKP+<MKN=58+34=92°.
<PMN=180-<PKN=180-92=88°
4p/5 - основание;
3p/5 - боковая сторона.
Объяснение:
При вращении равнобедренного треугольника с высотой h и основанием 2a получаем конус с радиусом основания a и высотой h.
Объем конуса:
V = 1/3 * π *a^2 *h
Чтобы объем был наибольшим, a^2*h должно быть наибольшим, или a^4*h^2 должно быть наибольшим.
Поскольку периметр равен 2p, то боковая сторона равна:
b=(2p-2a)/2 = p-a
Откуда квадрат высоты:
h^2 = (p-a)^2 - a^2 = p^2 -2pa
a^4*h^2 = a^4*(p^2 -2pa) = p*(a^4p -2a^5)
Иначе говоря, pa^4 -2a^5 должно быть наибольшим.
Но главное не забывать, что должно быть выполнены неравенства треугольника:
2b>a → a <2(p-a) → a<2p/3
a+b>b → a>0 (что в принципе логично)
То есть необходимо найти такое значение a, при котором функция
f(a) = pa^4 -2a^5 = a^4(p-2a) принимает на отрезке 0<a<2p/3 наибольшее значение. (p - константа)
Найдем производную функции:
f'(a) = 4pa^3 - 10a^4 = 0
Поскольку a>0, то на a^3 можно сократить.
4p - 10a= 0
2p = 5a
a = 2p/5<2p/3 - точка экстремума функции.
Поскольку точка экстремума 2p/5 единственная, то максимальное значение находится в одной из точек: a = 0; a=2p/5; a = 2p/3
f(0) = 0
f(2p/5) = (2p/5)^4 *(p - 4p/5) = 16*(p/5)^5
f(2p/3) = (2p/3)^4*(p-4p/3) < 0
Таким образом, максимальный объем будет при таких сторонах треугольника:
2a = 2*(2p/5)=4p/5 - основание;
b = p-a = p-2p/5 = 3p/5 - боковая сторона.