Теория - основа для решения задач. Раз изучаете вписанные и описанные окружности, наверняка уже знаете, что центр вписанной в треугольник окружности находится в точке пересечения его биссектрис. Знаете также и то, что центр описанной окружности - в точке пересечения срединных перпендикуляров, проведенных к каждой из его сторон. В равностороннем треугольнике все биссектрисы и высоты пересекаются в одной точке, и эта точка - центр и вписанной, и описанной окружности, так как высота равностороннего треугольника и есть срединный перпендикуляр к стороне. Почему - доказывать не стоит, наверняка знаете. О том, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1- считая от вершины, Вы уже должны знать. Вот на знании всех этих свойств и построено решение задачи. Точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от всех его сторон. Расстояние от нее до стороны - радиус вписанной окружности. В равностороннем треугольнике это 1/3 медианы - и это и 1/3 биссектрисы и 1/3 высоты ( три в одном флаконе). Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности - расстояние от точки пересечения высот до вершин треугольника, и это расстояние в два раза больше расстояния от точки пересечения биссектрис (высот) до стороны треугольника. Итак, радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в два раза больше радиуса вписанной в него. R=2r= 5*2=10 cм См. рисунок в качестве иллюстрации.
P(DKC) = CD + CK + DK P(DKE) = DE + KE + DK как видно, и в том, и в другом периметре фигурирует сторона DK, а CK = KE = DK. Найдем сторону DK. Диагональ СЕ делит прямоугольник на два треугольника. Периметр треугольника CDE = периметру треугольника CEF = половине периметра прямоугольника CDEF = 28/2 = 14 cм. В свою очередь, периметр CDE равен также сумме периметров DKC и DKE минус 4DK, т.е 14 = 16 + 18 - 4DK 4DK = 16 + 18 - 14 DK = 5 см Диагонали, при пересечении друг с другом, делятся пополам и образуют равнобедренные треугольники, значит DK = CK = КЕ = КF = 5 см. Теперь находим стороны прямоугольника. DС = ЕF = 16 - 5 - 5 = 6 см DE = CF = 18 - 5 - 5 = 8 см Проверка: Р(CDEF) = (6 + 8) * 2 = 28 см
Раз изучаете вписанные и описанные окружности, наверняка уже знаете, что центр вписанной в треугольник окружности находится в точке пересечения его биссектрис.
Знаете также и то, что
центр описанной окружности - в точке пересечения срединных перпендикуляров, проведенных к каждой из его сторон.
В равностороннем треугольнике все биссектрисы и высоты пересекаются в одной точке, и эта точка - центр и вписанной, и описанной окружности, так как высота равностороннего треугольника и есть срединный перпендикуляр к стороне. Почему - доказывать не стоит, наверняка знаете.
О том, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1- считая от вершины, Вы уже должны знать.
Вот на знании всех этих свойств и построено решение задачи.
Точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от всех его сторон. Расстояние от нее до стороны - радиус вписанной окружности.
В равностороннем треугольнике это 1/3 медианы - и это и 1/3 биссектрисы и 1/3 высоты ( три в одном флаконе).
Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности - расстояние от точки пересечения высот до вершин треугольника, и это расстояние в два раза больше расстояния от точки пересечения биссектрис (высот) до стороны треугольника.
Итак, радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в два раза больше радиуса вписанной в него.
R=2r= 5*2=10 cм
См. рисунок в качестве иллюстрации.