1. Рассмотрим параллелограмм ABCD. Диагональ AC разделяет его на два треугольника: ABC и ADC. Эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (AC-общая сторона, угол 1=углу 2 и угол 3=углу 4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC и CD, AD и BC соответственно). Поэтому AB=CD, AD= BC и угол B=углу D. Далее, пользуясь равенствами углов 1 и 2, 3 и 4, получаем угол A=углу 1+угол 3=угол 2+угол 4=углу C. 2. Пусть О-точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD. Треугольники AOB и COD равны по стороне и двум прилежащим углам (AB=CD как противоположные стороны параллелограмма, угол 1= углу 2 и угол 3=углу 4 как накрест лежащие углы при пересечение параллельных прямых AB и CD секущими AC и BD соответсвенно). Поэтому AO=OC и OB=OD, что и требовалось доказать
Вариант 1, при АВ>BC. а) В ∆ АВС отрезок EF - средняя линия, так как соединяет середины сторон АВ и АС. ЕF параллельна ВС. Отрезок MD - секущая. Накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых секущей равны. ∠MDF=∠DMC. По свойству касательных из одной точки СМ=CN и ∆ МСN - равнобедренный и углы при его основании MN равны (свойство): ∠NMC=∠MNC. ∠MNC=∠FND (вертикальные). Отсюда ∠MDF=∠FND. Треугольник DFN- равнобедренный с основанием DN, FN=FD. Что и требовалось доказать.
б) В любом треугольнике расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности со стороной треугольника, выходящей из данной вершины, есть разность полупериметра треугольника и стороны, противолежащей данной вершине: То есть CN = (AC + BC+AB)/2 - AB = (AC+BC-AB)/2. FN=FC-CN = AC/2 - (AC+BC-AB)/2 = AB/2-BC/2. Но FN = FD (доказано выше) и ED=EF+FD=EF+FN = BC/2+AB/2-BC/2=AB/2=BE. Треугольник BED равнобедренный. (ВЕ=ED). Проведем DK параллельно АВ. Тогда четырехугольник DEBK - ромб и его площадь равна S=BE²*Sin (ABC) = 100*√3/2 =50√3. Треугольник ВЕD - половина ромба ВЕDK и его площадь равна Sbed=25√3.
Для второго варианта, при АВ<ВС: а). EF параллельна ВС, MN - секущая. <NDF=<NMC (соответственные углы). СМ=CN (касательные из одной точки) => треугольник MNC равнобедренный и <NMC=<MNC (углы при основании). Отсюда <MNC=<NDF и треугольник DFN - равнобедренный с основанием ND. FN=FD. Что и требовалось доказать.
б). CN = (AC+BC+AB)/2 - AB = (AC+BC-AB)/2. FN=CN-CF = (AC+BC-AB)/2 - AC/2 - = BC/2-АВ/2. Но FN = FD (доказано выше) и ED=EF-FD=EF-FN = BC/2-BC/2+АВ/2=AB/2=BE. То есть треугольник BED равнобедренный. (ВЕ=ED). Проведем DK параллельно АВ. Тогда четырехугольник DEBK - ромб и его площадь равна S=BE²*Sin (ABC) = 100*√3/2 =50√3. Треугольник ВЕD - половина ромба ВЕDK и его площадь равна Sbed=25√3.
