Цилиндр описан около прямой призмы, значит, основание цилиндра ограничено окружностью, описанной около равнобедренного прямоугольного треугольника - основания призмы, а его образующая равна высоте призмы (ее боковому ребру). Примем катеты треугольника в основании призмы равными а. Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны 45°, ⇒ гипотенуза равна а:sin45°=а√2.
Боковая поверхность прямой призмы равна произведению высоты на периметр основания. S=h•(2а+а√2)=h•a(2+√2) ⇒ катет a=S:h(2+√2). Гипотенуза равна {S:(h(2+√2)}•√2. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы. R={S√2:(h(2+√2)}:2. После сокращения числителя и знаменателя на √2 получим R=S:2h(√2+1)
Рассмотрим треугольники АВС и А1В1С1,у которых АВ=А1В1,АС=А1С1, углы А=углу А1.Докажем что эти треугольники равны
Так как угол А=углу А1,то треугольник АВС можно наложить на треугольник А1В1С1 так,что вершина А совместится с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложаться на лучи А1В1 и А1С1
Поскольку АВ= совместится со стороной А1В1,а сторона АС со стороной А1С1 ,в частности
совместятся точки В и В1,С и С1.Следовательно совместятся стороны ВС и В1С1.И так треугольники совместятся и поэтому они равны.Теорема доказана!