Question

Решить равнобедренном треугольнике авс боковая сторона равна корень из 3 ,а угол при основании равен 30 градусов.найти площадь и периметр треугольника

Answer 1

$S_{\triangle ABC} = \dfrac{3\sqrt{3} }{4}$; $P_{\triangle ABC} = 2\sqrt{3} + 3$

Объяснение:

Обозначим данный равнобедренный треугольник буквами $ABC$.

$AB = \sqrt{3}$

$\angle ACB = 30^{\circ}$

==========================================================

Проведём высоту $AH$ к основанию $BC$.

============================================================

Так как $\triangle ABC$ - равнобедренный $\Rightarrow AB = AC = \sqrt{3}$ и $\angle ABC = \angle ACB = 30^{\circ}$, по свойству.

===========================================================

$AH$ - высота, медиана, биссектриса $\triangle ABC$, по свойству.

$\Rightarrow BH = HC.$

Рассмотрим $\triangle AHC$:

$\triangle AHC$ - прямоугольный, так как $AH$ - высота.

Если угол прямоугольного треугольника равен $30^{\circ}$, то напротив лежащий катет равен половине гипотенузы.

$\Rightarrow AH = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{\sqrt{3} }{2}$

Найдём $HC$, по теореме Пифагора:

$HC^{2} = AC^{2} - AH^{2} = (\sqrt{3} )^{2} - (\dfrac{\sqrt{3} }{2} )^{2} = \dfrac{9}{4}$

$HC = \sqrt{\dfrac{9}{4} } = \dfrac{3}{2} = 1,5$

$S_{\triangle ABC} = CH \cdot AH = 1,5 \cdot \dfrac{\sqrt{3} }{2} = \dfrac{3\sqrt{3} }{4}$

==========================================================

Так как $BH = HC \Rightarrow BC = BH + HC = 1,5 + 1,5 = 3$

$P_{\triangle ABC} = AB + BC + AC = \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3 = 2\sqrt{3} + 3$