Question

Определите расстояние между центрами сфер, которые заданы уравнениями x2 + y2 + z2 +6x-2y-4z=5 и x2 +y2+z2-2x-6y+4z=11(распишите)

Answer 1

Добрый день! Я буду рад выступить в роли вашего школьного учителя и помочь вам с этим вопросом.

Для начала давайте запишем уравнения сфер в развернутой форме:

Сфера 1: x^2 + y^2 + z^2 + 6x - 2y - 4z = 5
Сфера 2: x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 6y + 4z = 11

А теперь рассмотрим первое уравнение и приведем его к каноническому виду. Для этого нам необходимо полностью завершить квадраты:

(x^2 + 6x) + (y^2 - 2y) + (z^2 - 4z) = 5

Заметим, что в первой скобке у нас стоит x и его коэффициент равен 6. Чтобы завершить квадрат, мы должны добавить к этой скобке квадрат половины коэффициента, то есть (6/2)^2 = 9. Но чтобы сохранить равенство, мы должны также добавить 9 в другие две скобки. Получаем:

(x^2 + 6x + 9) + (y^2 - 2y + 1) + (z^2 - 4z + 4) = 5 + 9 + 1 + 4

Упрощаем:

(x + 3)^2 + (y - 1)^2 + (z - 2)^2 = 19

Итак, первая сфера имеет центр в точке (-3, 1, 2) и радиус √19.

Теперь рассмотрим второе уравнение и приведем его к каноническому виду:

(x^2 - 2x) + (y^2 - 6y) + (z^2 + 4z) = 11

Аналогично первому уравнению, завершим квадраты, добавив половину коэффициентов:

(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 6y + 9) + (z^2 + 4z + 4) = 11 + 1 + 9 + 4

Упрощаем:

(x - 1)^2 + (y - 3)^2 + (z + 2)^2 = 25

Итак, вторая сфера имеет центр в точке (1, 3, -2) и радиус 5.

Теперь, чтобы найти расстояние между центрами сфер, мы можем использовать формулу для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)

где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты центров сфер.

Подставим значения координат центров:

d = √((1 - (-3))^2 + (3 - 1)^2 + ((-2) - 2)^2)
d = √(4^2 + 2^2 + (-4)^2)
d = √(16 + 4 + 16)
d = √36
d = 6

Таким образом, расстояние между центрами данных сфер составляет 6 единиц.

Надеюсь, мое объяснение было понятным и полезным! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.