Точка касания двух окружностей лежит на линии их центров. Поскольку центрами являются середины боковых сторон, линией центров является средняя линия трапеции и она равна сумме радиусов или полусумме боковых сторон. А так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, сумма боковых сторон равна сумме оснований.
Прямая АЕ, пересекаясь со стороной ВС параллелограмма АВСD, образует ∆ АВЕ. Из условия следует, что 2|АВ| = |ВС|. Тогда, т.к. точка Е - середина стороны ВС, то ∆ АВЕ равнобедренный по признаку. Пусть угол ВАЕ равен х°, тогда угол ВЕА тоже равен х°, т.к. ∆ АВЕ равнобедренный. Тогда угол АВЕ равен 180° - 2х° по теореме о сумме углов ∆. Угол, смежный с углом ВЕА (угол СЕА), равен 180° - х° по свойству смежных углов. Угол ЕСD является внутренним одностороннним с углом ЕВА, соответственно, их сумма равна 180°, а значит, угол ЕСD равен 2х°. Т.к. у параллелограмма противолежащие углы равны, то угол СDA равен углу ЕВА, то есть составляет 180° - 2х°. Градусная мера угла DAB равна сумме градусных мер углов DAE и ЕАВ. Сумма градусных мер углов любого четырехугольника равна 360°. Соответственно, градусная мера угла АВЕ + градусная мера угла ЕСD + градусная мера угла СDA + градусная мера угла DAE + градусная мера угла ЕАВ = 180° - 2х° + 2х° + 180° - 2х° + градусная мера угла DAE + х° = 360°. Получаем, что градусная мера угла DAE = х°, то есть отрезок АЕ делит угол ВАD на два равных угла => отрезок АЕ - биссектриса угла ВАD по определению.
Точка касания двух окружностей лежит на линии их центров. Поскольку центрами являются середины боковых сторон, линией центров является средняя линия трапеции и она равна сумме радиусов или полусумме боковых сторон. А так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, сумма боковых сторон равна сумме оснований.
BC=x, AD=5x
AB+CD=AD+BC=6x
CH - высота, CH=AB
HD=AD-BC=4x
CH+CD=6x <=> CH=6x-CD
CH^2 + HD^2 = CD^2 <=>
(6x-CD)^2 + (4x)^2 = CD^2 <=>
36x^2 -12xCD +CD^2 +16x^2 = CD^2 <=>
CD= 52/12 *x =13/3 *x
cos(D) =HD/CD =4*3/13 =12/13
∠D= arccos(12/13) =22,62°