Если воспользоваться готовой формулой для радиуса вписанной в правильный тетраэдр сферы - то всё попроще. но попробуем обойтись без этой формулы. на первом рисунке изображён тетраэдр и сечение вписанной сферы плоскостью СРТ Низ красный, верх синий Примем сторону тетраэдра за 1. тогда в треугольнике АКР АР = 1/2 ∠РАК = 30° КР/АР = tg(30) = 1/√3 КР = 1/(2√3) КР/АК = sin(30°) АК = 2*КР = 1/√3 И так как К - точка пересечения медиан основания, то СК = АК = 1/√3 Переходим к ΔАРТ РТ²+АР² = АТ² РТ² + 1/4 = 1 РТ² = 3/4 РТ = √3/2 Переходим к ΔКРТ КТ²+1/(2√3)² = (√3/2)² КТ²+1/(4*3) = 3/4 КТ² = 3/4-1/12 = 9/12-1/12 = 8/12 = 2/3 КТ = √(2/3) - это высота пирамиды Пора искать радиус вписанной сферы ΔКРТ и ΔХОТ подобны - общий угол Т, по прямому углу и третий угол равен в силу того, что два равны и сумма углов треугольника 180° ОХ = ОК = r КР/ОХ = РТ/ОТ 1/(2√3)/r = √3/2/(√(2/3)-r) (√(2/3)-r)/(2√3) = √3/2*r √(2/3)-r = 2√3√3/2*r √(2/3)-r = 3r √(2/3) = 4r r = 1/(2√2√3) = 1/(2√6) Хорошо :) В правильный тетраэдр с единичным ребром можно вписать сферу радиуса 1/(2√6) Если радиус сферы R, то ребро тетраэдра будет a = 1/(1/(2√6)) = 2√6 площадь одной грани S₁ = 1/2*a²*sin(60°) = 2*6*√3/2 = 6√3 И полна плошадь тетраэдра в 4 раза больше S = 24√3
Для построения нам понадобится знание некоторых фактов.
1. расстояние от вершины C треугольника ABC до точек касания вписанной окружности со сторонами AC и BC равно p-c, где p - полупериметр, а c=AB. Тем самым, это расстояние равно
p-c=(a+b-c)/2=(m-c)/2
2. Расстояние от вершины C треугольника ABC до точек касания вневписанной окружности с продолжениями сторон AC и BC равно p. Тем самым, это расстояние равно
p=(a+b+c)/2=(m+c)/2
Дальше все просто. Рисуем прямой угол с вершиной C, откладываем на сторонах угла отрезки (m-c)/2 - получаем точки A' и B'. Центр I вписанной окружности будет четвертой вершиной квадрата A'CB'I. Рисуем эту окружность. Далее аналогично рисуем еще один квадрат - A''CB''J со стороной (m+c)/2; J - центр вневписанной окружности. Рисуем эту окружность. Остается провести общую внутреннюю касательную для нарисованных окружностей, она отсечет от угла с вершиной C нужный треугольник ABC.
Замечание 1. Что означает метод спрямления - мне неизвестно. Если я случайно именно им и воспользовался - прекрасно. Если мой метод не подойдет - жалуйтесь начальству))
Замечание 2. Как рисовать общие касательные для двух окружностей - тема отдельного вопроса. Готов ответить на него за минимальное количество или бесплатно в комментариях
на первом рисунке изображён тетраэдр и сечение вписанной сферы плоскостью СРТ
Низ красный, верх синий
Примем сторону тетраэдра за 1. тогда в треугольнике АКР
АР = 1/2
∠РАК = 30°
КР/АР = tg(30) = 1/√3
КР = 1/(2√3)
КР/АК = sin(30°)
АК = 2*КР = 1/√3
И так как К - точка пересечения медиан основания, то
СК = АК = 1/√3
Переходим к ΔАРТ
РТ²+АР² = АТ²
РТ² + 1/4 = 1
РТ² = 3/4
РТ = √3/2
Переходим к ΔКРТ
КТ²+1/(2√3)² = (√3/2)²
КТ²+1/(4*3) = 3/4
КТ² = 3/4-1/12 = 9/12-1/12 = 8/12 = 2/3
КТ = √(2/3) - это высота пирамиды
Пора искать радиус вписанной сферы
ΔКРТ и ΔХОТ подобны - общий угол Т, по прямому углу и третий угол равен в силу того, что два равны и сумма углов треугольника 180°
ОХ = ОК = r
КР/ОХ = РТ/ОТ
1/(2√3)/r = √3/2/(√(2/3)-r)
(√(2/3)-r)/(2√3) = √3/2*r
√(2/3)-r = 2√3√3/2*r
√(2/3)-r = 3r
√(2/3) = 4r
r = 1/(2√2√3) = 1/(2√6)
Хорошо :)
В правильный тетраэдр с единичным ребром можно вписать сферу радиуса 1/(2√6)
Если радиус сферы R, то ребро тетраэдра будет a = 1/(1/(2√6)) = 2√6
площадь одной грани
S₁ = 1/2*a²*sin(60°) = 2*6*√3/2 = 6√3
И полна плошадь тетраэдра в 4 раза больше
S = 24√3