Задание № 7:
Четырехугольник PQRS вписан в окружность. Диагонали PR и QS перпендикулярны и пересекаются в точке M. Известно, что PS=13, QM=10, QR=26. Найти площадь четырехугольника PQRS.
углы PRQ и PSQ опираются на одну и ту же дугу, значит они равны. кроме того диагонали перпендикулярны, значит в частности углы PMS и RMQ равны
тогда треугольники PMS и RMQ подобны
k=QR/PS=2
отношение k=QM/PM=2
10/PM=2; PM=5
отношение k=RM/SM=2
находим RM по т. Пифагора
RM=корень(QR^2-QM^2)=корень(26^2-10^2)=24
24/SM=2; SM=12
тогда полные диагонали:
QS=QM+SM=10+12=22
PR=PM+RM=5+24=29
площадь четырехугольника равна полупроизведению их диагоналей на синус угла между ними
S=(1/2)*22*29*sin90=319
ответ: 319
В нашем случае это треугольник с боковыми сторонами, равными 4√3 и основанием, равным 12см. По теореме косинусов найдем угол при вершине этого треугольника:
Cosα = (b²+c²-a²)/2bc. (α - между b и c). В нашем случае:
Cosα=(2*(4√3)²-12²)/(2*4√3)²=-48/(2*48)=-(1/2).
То есть центральный угол тупой и равен 120°.
Следовательно, число сторон нашего вписанного многоугольника равно 360°/120°=3. Это ответ.
P.S. Можно проверить по формуле радиуса описанной около правильного треугольника окружности: R=(√3/3)*a. В нашем случае
R=(√3/3)*12=4√3, что соответствует условию задачи.