1) Рассмотрим треугольник MKL. По т. о сумме углов треугольника ∠KML = 180 - ∠MLK - ∠MKL
∠KML = 180 - 60 - 90 = 30°.
Так как ML - биссектриса, ∠KML = ∠LMN = 30°.
углы MLK и MLN - смежные, значит ∠MLN = 180° - ∠MLK = 120°
Катет KL лежит против угла в 30 градусов, а значит равен половине гипотенузы ML. ML=2KL = 2*3=6
2) Рассмотрим треугольник MLN. По т. о сумме углов треугольника ∠MNL = 180° - ∠NML - ∠MLN
∠MNL = 180 - 120 - 30 = 30°. Получается, ∠MNL = ∠NML = 30° и ΔMNL - равнобедренный.
Тогда ML = LN = 6 см.
ответ: 6 см
Проведем высоту ВН= h треугольника АВС.
Расстояние от С до Н обозначим х, от Н до А 4-х
Высоту вычислим из треугольника ВНС и ВНА
h²=ВС²-х²=13²-х²
h²=ВА²=АН²= 15²-(4-х)²
h²=15²-(4-х)²
13²-х²=15²-(4-х)²
169-х²=225-16+8х-х²
169 - х²=225 - 16 + 8х - х²
8х= - 40
х= -5 см
----------------------
(Отрицательное значение х указыает на то, что основание высоты h треугольника АВС находится на продолжнении его основания, и, следовательно, угол АСВ - тупой.
Можно было бы, зная, что треугольник тупоугольный, расстояние АН обозначить как 4+х. Результат был бы тот же.)
-------------------------
h²=169-25=144
h=12
Рассмотрим треугольник ВМН. (Второй рисунок дала для большей наглядности. При решении можно использовать дополнительное построение, в котором В1М1=ВМ, а угол В1АМ1 равен 30 градусов)
Расстояние ВМ от вершины В до плоскости α - катет прямоугольного треугольника ВМН, противолежащий углу 30 градусов, и потому равен половине высоты ВН треугольника АВС
ВМ=12:2=6 см
sinB/sinA=4/5
sinB=4sinA/5=0.8sinA
тогда по т синусов
AC/sinB=BC/sinA
32/(0.8sinA)=BC/sinA
BC=32sinA/(0.8sinA)=32/0.8=40