Из ΔAMB по теореме косинусов : AB² =AM² +(BC/2)² -2AM*(BC/2)cos∠AMB (1) ; Из ΔAMC : AC² =AM² +(BC/2)² -2AM*(BC/2)cos∠AMC ; но cos∠AMC =cos(180° -∠AMB) = - cos∠AMB поэтому AC² =AM² +(BC/2)² +2AM*(BC/2)cos∠AMB (2) ; суммируем (1) и (2) получаем AB² +AC² =2AM² + BC²/2 ⇔4AM² =2AB² +2AC² -BC² ; но BC² =AB² +AC²- 2AB *AC*cosA поэтому : 4AM² =AB² +AC² + 2AB *AC*cosA.
* * * Можно продолжать медиана MD =AM и M соединить с вершинами B и C. Получится параллелограмм ABDC , где верно 2(AB²+AC²) = AD² +BC² ⇔2(AB²+AC²) = 4AM² +BC².
Для медианы CN : 4CN² =CB² +CA² +2CB*CA*cosC. Если ΔABC равнобедренный CB =AB ⇒∠C =∠A , то 4CN² =4AM² или CN =AM .
1) У равнобедренного треугольника есть ось симметрии. 3) Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту. 2) Любой квадрат можно вписать в окружность. 3) Сумма квадратов диагоналей прямоугольника равна сумме квадратов всех его сторон.
1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой.
2) Если при пересечении двух прямых третьей прямой сумма внутренних односторонних углов равна 180°,то эти прямые параллельны. 1) Вокруг любого треугольника можно описать окружность. 3) Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб -.квадрат. 1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
2) Существует параллелограмм, который не является прямоугольником. 3) Сумма углов тупоугольного треугольника равна 180°.
AB² =AM² +(BC/2)² -2AM*(BC/2)cos∠AMB (1) ;
Из ΔAMC :
AC² =AM² +(BC/2)² -2AM*(BC/2)cos∠AMC ;
но cos∠AMC =cos(180° -∠AMB) = - cos∠AMB поэтому
AC² =AM² +(BC/2)² +2AM*(BC/2)cos∠AMB (2) ;
суммируем (1) и (2) получаем
AB² +AC² =2AM² + BC²/2 ⇔4AM² =2AB² +2AC² -BC² ;
но BC² =AB² +AC²- 2AB *AC*cosA поэтому :
4AM² =AB² +AC² + 2AB *AC*cosA.
* * *
Можно продолжать медиана MD =AM и M соединить с вершинами
B и C. Получится параллелограмм ABDC , где верно
2(AB²+AC²) = AD² +BC² ⇔2(AB²+AC²) = 4AM² +BC².
Для медианы CN : 4CN² =CB² +CA² +2CB*CA*cosC. Если ΔABC равнобедренный CB =AB ⇒∠C =∠A , то 4CN² =4AM² или CN =AM .