В ортонормированном базисе заданы векторы а=(2; -3;1) b=(-1;2;0). Найти вектор с, перпендикулярный векторам а и b, длина которого равна единице.
Находим вектор d, перпендикулярный двум заданным с векторного произведения.
I j k| I j
2 -3 1| 2 -3
-1 2 0| -1 2 = 0i – 1j + 4k – 0j – 2i – 3k = -2i – 1j + 1k.
Вектор d = (-2; -1; 1), его модуль равен √((-2)² + (-1)² + 1²) = √6.
Вектор «с» с единичной длиной получим из вектора d, разделив его на его же модуль.
c = ((-2/√6); (-1/√6); (1/√6)).
Между прочим, в условии не сказано, какая задана высота.
Считаю,что к основанию :)))
Два очевидных утверждения сразу решают задачу.
1. такая окружность пересекает сторону треугольника (и боковую и основание, и вообще это справедливо всегда) в точке, являющейся основанием высоты треугольника, проведенной к этой стороне. Это ясно из того, что угол между стороной и линией соединения вершины с точкой пересечения опирается на диаметр окружности, то есть равен 180/2 = 90.
Отсюда сразу следует, что такая окружность в равнобедренном треугольнике пересечет основание в середине. Поэтому мы знаем теперь, что одна боковая сторона ОТСЕЧЕННОГО треугольника равна половине основания, то есть 2 см.
2. Отсеченный треугольник ПОДОБЕН ИСХОДНОМУ. Это сразу следует из свойств секущих. Если обозначить a - основание, b - боковая сторона, m - часть основания от "внешней" вершины треугольника до окружности (см пункт 1:)), а n - часть боковой стороны от "внешней" вершины треугольника до окружности (то есть до основания высоты к боковой стороне, но это уже не слишком важно для решения), то
a*m = b*n;
Откуда следует n/a = m/b; Стороны пропорциональны, при ОБЩЕМ УГЛЕ. Ч.т.д.
При этом, конечно, этот треугольник расположен не так, как исходный, и кусок боковой стороны большого треугольника будет основанием малого.
Теперь достаточно найти "коэффициент подобия", то есть отношение подобных сторон, и все решится :) боковая сторона малого треугольника m = 2, а боковую сторону большого треугольника считаем по теореме Пифагора
b = корень(m^2 + H^2); где Н = 6 см. b = 2*корень(10).
Поэтому боковые стороны относятся,как 1/корень(10),
а площади, соответственно, как 1/10.
Поэтому четырехугольник будет иметь площадь 1 - 1/10 = 9/10 от площади треугольника. Площадь треугольника = (1/2)*6*4 = 12, значит,
ответ 10,8