АВСD -ромб, АВ=5 , АС=8 , ВВ₁⊥(АВС), СС₁⊥(АВС), ВВ₁=СС₁ , S(АВ₁С₁D)=24√2 .
Найти угол между плоскостями (АВС) и(АВ₁С₁)
Объяснение:
Пусть ВН⊥AD, тогда В₁Н⊥AD по т. о 3-х перпендикулярах, а значит угол ∠В₁НВ-линейный угол между плоскостями (АВС) и(АВ₁С₁).
1)По св.диагоналей ромба из прямоугольного ΔАОВ найдем ВО=√(5²-4²)=3, ВD=6 . S(роба)=1/2*d₁*d₂ , S(роба)=1/2*48=24.
С другой стороны S(ромба)=a*h или 24=5*ВН , ВН=4,8 .
2)АВ₁С₁D-параллелограмм ( **), его S(АВ₁С₁D)=24√2 , AD=5 , тогда В₁Н=24√2:5=4,8√2.
3)ΔВВ₁Н-прямоугольный cos∠В₁НВ=ВН/В₁Н или cos∠В₁НВ=4,8/4,8√2=1/√2=√2/2 ⇒ ∠В₁НВ=45°
PS(**)
АВВ₁=ΔDCC₁ , как прямоугольные по двум катетам АВ=СD ,ВВ₁=СС₁. В равных треугольниках соответственные элементы равны ⇒ АВ₁=DС₁.
По признаку параллелограмма ( о равенстве противоположных сторон) -АВ₁С₁D параллелограмм.
3см
Объяснение:
Пусть шар радиусом R=5см пересекает плоскость равнобедренной трапеции с основаниями a=8√2см и b=4√2см так, что сечение шара касается всех сторон этой трапеции. Сечение шара - окружность радиуса r, она является вписанной в равнобедренную трапецию.
Радиус вписанной в равнобедренную трапецию окружности будет равен половине от среднего пропорционального между её основаниями, то есть:
r=1/2*√ab=1/2*√(8√2*4√2)=1/2*√64=4см
d - расстояние от центра шара до плоскости трапеции.
По теореме Пифагора:
d=√(R²-r²)=√(25-16)=3см