Question

Средняя линия равнобедренной трапеции равна 8 см а диагональ 10 см найдите площадь трапеции​

Answer 1

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с диагоналями $AC = BD = 10$ см и $KN = 8$ см — медиана (см. вложение).

Сделаем дополнительное построение: проведем прямую $CE \parallel BD$. Образовался равнобедренный треугольник $ACE$ с боковыми сторонами $AC = CE = 10$ см, равновеликий с трапецией $ABCD$ (так как треугольники $ABC$ и $CDE$ равны по третьему признаку равенства треугольников). Следовательно, средние линии $KN$ и $MP$ тоже равны (средние линии $KM$ и $NP$ соответственно равны треугольникам $ABC$ и $CDE$).

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ACE$. Так как $MP = 8$ см — его средняя линия, то $AE = 2 MP = 16$ см. Опустим перпендикуляр $CL$ — высота, биссектриса и медиана. Значит, $AL = LE = \dfrac{AE}{2} = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACL \ (\angle L = 90^{\circ}):$

По теореме Пифагора: $CL = \sqrt{AC^{2} - AL^{2}} = \sqrt{10^{2} - 8^{2}} = \sqrt{36} = 6$ см.

Следовательно, площадь треугольника $ACE$ составляет $S = \dfrac{1}{2} \cdot CL \cdot AE = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 16 = 48$ см².

Так как треугольник $ACE$ и трапеция $ABCD$ равновеликие, то площадь трапеции равна 48 см².

ответ: 48 см².