Объяснение:
Дано:
∆ ABC,
CK — медиана и биссектриса
Доказать:
∆ ABC — равнобедренный.
Проведем анализ задачи:
На основе каких данных можно утверждать, что треугольник — равнобедренный? Если у него две стороны равны либо два угла равны. Значит, нам нужно доказать либо равенство сторон AC и BC, либо равенство углов A и B. Любое из этих равенств следует из равенства треугольников.
В треугольниках AKC и BKC биссектриса CK образует равные углы ACK и BCK, медиана CK — равные отрезки AK и BK. Сторона CK — общая.
Что мы имеем? Две стороны, но нет угла между ними. Ни к одной из сторон нет двух прилежащих углов. Признаки равенства треугольников применить не можем.
В таком случае придется выполнять дополнительные построения.
На луче CK отложим отрезок KE так, чтобы KE=CK, и точки A и E соединим отрезком. Получили еще один треугольник AKE.
Мы можем доказать, что этот треугольник равен треугольнику BKC (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства этих треугольников следует равенство сторон AE и BC и углов AEK и BCK.
Получается, что в треугольнике ACE имеется два равных угла AEK и ACK. Поэтому он — равнобедренный, откуда легко доказывается и равенство сторон AC и ВС. Осталось записать доказательство.
Доказательство:
На луче CK отложим отрезок KE, KE=CK.
Рассмотрим треугольники AKE и BKC:
1) AK=BK (так как CK — медиана по условию)
2) KE=CK (по построению)
3) ∠AKE=∠BKC (как вертикальные).
Следовательно, ∆ AKE=∆ BKC (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AE=BC и соответствующих углов: ∠AEK=∠BCK.
По условию, ∠BCK=∠AСK. Поэтому ∠AEK=∠AСK.
Таким образом получили, что в треугольнике ACE два угла равны. Значит, ∆ ACE — равнобедренный с основанием CE (по признаку). Следовательно, его боковые с�ороны равны: AE=AC.
А поскольку уже доказали, что AE=BC, то и AС=BС. Поэтому ∆ ABC — равнобедренный с основанием AB (по определению).
Неограниченные возможности для обучения без рекламы со Знаниями Плюс
Подробнее - на -
ответ:1)15 см, Р=25 см, S=50√5 см² ;
2) 20 см, Р=55 см, S=187,5*√0,55 см².
Объяснение:Задача имеет два решения.
1) Если основание треугольника 20 см, тогда две боковые стороны будут по 15 см.
Р=а+в+с= 20+15+15= 50 (см), р=Р:2=50:2=25 (см).
S=√(р(р-а)(р-в)(р-с))=
=√(25(25-20)(25-15)(25-15))=√(25*5*10*10)=50√5 (см²).
2)Если основание треугольника 15 см, тогда две боковые стороны будут по 20 см.
Р=а+в+с=15+20+20= 55 (см), р=Р:2=55:2=27,5 (см).
S=√(р(р-а)(р-в)(р-с))=
=√(27,5(27,5-20)(27,5-20)(27,5-15))=√(27,5*7,5*7,5*12,5)=7,5*√343,75=
=7,5*25*√0,55=187,5*√0,55.