Question

Даны четыре точки А(0;1;-1),В(1,-1;2),С(3;1;0),D(2;-3;1)Найдите косинус угла Ф между векторами AB и CD

Answer 1

Чтобы найти косинус угла Ф между векторами AB и CD, нужно сначала найти вектора AB и CD, а затем воспользоваться формулой для косинуса угла между векторами.

1. Найдем вектор AB:
AB = B - A = (1, -1, 2) - (0, 1, -1) = (1 - 0, -1 - 1, 2 - (-1)) = (1, -2, 3)

2. Найдем вектор CD:
CD = D - C = (2, -3, 1) - (3, 1, 0) = (2 - 3, -3 - 1, 1 - 0) = (-1, -4, 1)

3. Теперь применим формулу для косинуса угла между векторами:
cos(Ф) = (AB · CD) / (|AB| * |CD|)

где AB · CD - скалярное произведение векторов AB и CD,
|AB| - длина вектора AB,
|CD| - длина вектора CD.

4. Вычислим скалярное произведение:
AB · CD = (1 * -1) + (-2 * -4) + (3 * 1) = -1 + 8 + 3 = 10

5. Вычислим длины векторов:
|AB| = √(1^2 + (-2)^2 + 3^2) = √(1 + 4 + 9) = √14
|CD| = √((-1)^2 + (-4)^2 + 1^2) = √(1 + 16 + 1) = √18

6. Подставим значения в формулу для косинуса угла:
cos(Ф) = 10 / (√14 * √18)

7. Упростим выражение:
cos(Ф) = 10 / (√(14 * 18)) = 10 / (√252) = 10 / (2√63) = 5 / √63

Таким образом, косинус угла Ф между векторами AB и CD равен 5 / √63.

Обязательно укажите школьнику, что значения точные и могут быть округлены для упрощения вычислений или использования в дальнейших задачах.