Question

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 измерения равны: АВ=а ВС=2а АА1=3а. Через диагональ АС нижнего основания и среднюю линию треугольника А1В1С1 проведена плоскость. Найдите площадь сечения.
желательно, с рисунком

Answer 1

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать свойства прямоугольного параллелепипеда и плоскостей.

1. Обозначим стороны прямоугольного параллелепипеда следующим образом:
АВ = а
ВС = 2а
АА1 = 3а

2. Найдем диагональ AC нижнего основания:
Для этого можно воспользоваться теоремой Пифагора.
Из прямоугольного треугольника ABC найдем гипотенузу AC:
AC^2 = AB^2 + BC^2
= а^2 + (2а)^2
= а^2 + 4а^2
= 5а^2

Тогда AC = √(5а^2)
= а√5

3. Найдем среднюю линию треугольника A1B1C1.
Средняя линия треугольника – это сегмент, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Середину стороны А1В1 обозначим точкой М.
Тогда МВ1 = 1/2 * A1B1
= 1/2 * 3а
= 3/2 * а

Таким образом, МВ1 = 3/2 * а.

4. Построим плоскость, проходящую через диагональ АС нижнего основания и среднюю линию треугольника А1В1С1.
Плоскость будет содержать прямую, образованную пересечением диагонали АС и средней линии МВ1.
Построим прямую МС (это будет искомое сечение).
Точки пересечения прямой МС с гранями параллелепипеда обозначим точками X и Y.

5. Найдем координаты точек X и Y.
Точка М лежит на прямой А1С и делит ее в отношении 2:1.
Использовав координаты точек А1 и С, найдем координаты точки М.

Координаты точки А1: (3а, 0, 0)
Координаты точки С: (0, 2а, 0)

Найдем координаты точки М:
x = 2/3 * 3а = 2а
y = 2/3 * 0 + 1/3 * 2а = 2а/3
z = 2/3 * 0 = 0

Точка М имеет координаты (2а, 2а/3, 0).

Так как точка М лежит на прямой МС, координата x точки С будет равна координате x точки М.
Поэтому, точка С имеет координаты (2а, 2а, 0).

Точки X и Y будут пересечениями прямой МС с гранями параллелепипеда.
Точку X можно найти на грани ABB1A1.
Координата x точки X будет равна координате x точки А1.
Поэтому, точка X имеет координаты (3а, 2а/3, 0).

Точку Y можно найти на грани BC1C1B1.
Координата x точки Y будет равна координате x точки С.
Поэтому, точка Y имеет координаты (2а, 2а, 0).

6. Построим плоскость, проходящую через точки X, Y и М.
Получим треугольник, образованный этой плоскостью.

7. Найдем площадь сечения, образованного треугольником XMY.
Для этого воспользуемся формулой площади треугольника по координатам его вершин.
Площадь треугольника XMY можно найти, используя формулу Герона или формулу площади треугольника по ее высоте и основанию.

Вычислим длины сторон треугольника XMY, используя координаты его вершин.
Длина стороны XM:
√((x_M - x_X)^2 + (y_M - y_X)^2 + (z_M - z_X)^2)
= √((2а - 3а)^2 + (2а/3 - 2а/3)^2 + (0 - 0)^2)
= √((-а)^2 + 0^2 + 0^2)
= а

Длина стороны MY:
√((x_M - x_Y)^2 + (y_M - y_Y)^2 + (z_M - z_Y)^2)
= √((2а - 2а)^2 + (2а/3 - 2а)^2 + (0 - 0)^2)
= √(0^2 + (-4а/3)^2 + 0^2)
= 4а/3

Длина стороны XY:
√((x_X - x_Y)^2 + (y_X - y_Y)^2 + (z_X - z_Y)^2)
= √((3а - 2а)^2 + (2а/3 - 2а)^2 + (0 - 0)^2)
= √(а^2 + (-4а/3)^2 + 0^2)
= √(а^2 + 16а^2/9)
= √(9а^2/9 + 16а^2/9)
= √(25а^2/9)
= 5а/3

Теперь мы можем найти площадь треугольника XMY, используя формулу площади треугольника по ее высоте и основанию.
Площадь треугольника XMY:
S_XMY = 1/2 * AB * h
= 1/2 * XY * MY
= 1/2 * (5а/3) * (а/3)
= 5а^2/9

Таким образом, площадь сечения, образованного плоскостью, проведенной через диагональ АС нижнего основания и среднюю линию треугольника А1В1С1, равна 5а^2/9.