А) ∆AOD = ∆COB, AD=BC. ∆AOC = ∆DOB, AC=BD. Это на плоскости. А так как у треугольников АСВ и ADB высоты (высота цилиндра) одинаковы. то это равенство верно и для цилиндра.
б) Применим координатный метод. Проведем образующие цилиндра АА1, ВВ1, СС1 и DD1. Получили прямоугольную призму АD1BC1A1DB1C. В ней углы при вершинах попарно перпендикулярны, то есть =90°. Тогда по Пифагору A1A²+А1D²=AD², A1A²+A1C²=CD², A1C²+A1D²=CD² или A1A²+А1D²=64 (1), A1A²+A1C²=36 (2), A1C²+A1D²=36 (3). Из (1) и (2) получаем: A1D²-A1C²=28 (4), а из (3) и (4) получаем: A1D²=32. Тогда A1A²=32, а A1C²=4. Итак, мы получили измерения нашей призмы и, следовательно, координаты ее вершин: А(2;0;0), В(0;4√2;0), С(0;0;4√2) и D(2;4√2;4√2). Имея координаты вершин пирамиды АВСD, мы можем найти и высоту этой пирамиды - расстояние от вершины D до плоскости АВС, и ее объем (найдя по Герону площадь треугольника AВС: Sacb=√(10*4*4*2)=8√5). Найдем высоту пирамиды. Уравнение ее основания (плоскости АВС) найдем через определитель по формуле:
|Х-Хa Xb-Xa Xc-Xa| |Y-Ya Yb-Ya Yc-Ya| = 0. |Z-Za Zb-Za Zc-Za| Подставим данные нам значения координат точек А, B и С: |X-2 0-2 0-2| |Y-0 4√2-0 0-0| =0 |Z-0 0-0 4√2-0| Решаем определитель по первому столбцу: (X-2)(32)+8√2*Y8+√2*Z=0 => 32*X+8√2*Y+8√2*Z-64=0 То есть коэффициенты уравнения равны: А=32, В=8√2, С=8√2 D=-64. Теперь найдем расстояние от точки D до плоскости α (ABC) по формуле: L(D;α) = |A*Xd+B*Yd+C*Zd+D|/√(A²+B²+C²). Подставляя известные нам значения имеем: L(D;α) =128/√(128+1024+128) = 128/16√5 =8/√5. Тогда объем пирамиды ABCD равен V=(1/3)*8√5*8/√5 =64/3= 21и1/3. ответ: Vabcd=21и 1/3.
Все ребра данного нам тетраэдра разные. Но они все даны. Проведены медианы СМ - в треугольнике АВС и КМ - в треугольнике ВКА. Следовательно, чтобы найти длину медианы КМ, необходимо воспользоваться формулой для длины медианы. Формула: Ma=√(2b²+2c²-a²). Заметим, что АК и ВК - медианы в треугольниках ADC и BDC соответственно. Тогда АК=√(2АС²+2AD²-CD²) или АК=√(2b²+2a1²-c1²). BK= √(2BC²+2BD²-CD²) или BК=√(2a²+2b1²-c1²). И в треугольнике ВКА искомая медиана МК=√(2АК²+2BК²-АВ²). Подставим найденные значения: МК=√(2(2b²+2a1²-c1²)+2(2a²+2b1²-c1²)-с²) =√((4a²+4b²-с²)+4(a1²+b1²-c1²)).
