Плоскости α и β параллельны. Через точку M, находящуюся между этими плоскостями, проведены две прямые. Одна из них пересекает плоскости α и β в точках A₁ и B₁, а другая — в точках A₂ и B₂ соответственно . Найдите отрезок A₁A₂, если он на 1 см меньше отрезка B₁B₂, MA₂ = 4 см, A₂B₂ = 10 см.
Объяснение:
1) Две пересекающиеся прямые А₁В₁ и А₂В₂ определяют плоскость
(А₁А₂ В₂) единственным образом ( аксиома). Эта плоскость пересекает параллельные плоскости α и β по параллельным прямым А₁А₂ и В₁В₂( свойство).
2) ΔМА₁А₂~ΔMB₁B₂ по 2-м углам : ∠А₁МА₂=∠B₁МB₂ как вертикальные , ∠А₁А₂М =∠В₁В₂М как накрест лежащие при А₁А₂ || В₁В₂, А₂В₂-секущая. Поэтому сходственные стороны пропорциональны
А₁А₂ : В₁В₂ = АМА₂ : МВ₂
А₁А₂ : (А₁А₂+1) = 4: ( 10-4)
4(А₁А₂+1)=А₁А₂*6 ⇒ А₁А₂= 2 cм
Даны координаты вершин треугольника АВС: A(4,-4), В (6;2), С(-1;8).
а) Длина стороны АВ = √((6-4)² + (2-(-4))²) = √(4 + 36) = √40.
Вектор АВ = (2; 6).
Уравнение стороны АВ.
АВ: (х - 4)/2 = (у +4)/6 это каноническое уравнение,
6х - 24 = 2у + 8
3х - у - 16 = 0 уравнение общего вида,
у = 3х - 16 уравнение с угловым коэффициентом, к = 3.
б) Уравнение высоты СН;
к(СН) = -1/к(АВ) = -1/3.
у(СН) = (-1/3)х + в. Для определения "в" подставим координаты точки С, принадлежащей этой прямой.
8 = (-1/3)*(-1) + в, в = 23/3, отсюда уравнение СН: у = (-1/3)х + (23/3).
Или в общем виде х + 3у - 23 = 0.
в) Уравнение медианы АМ.
Находим координаты точки М как середину стороны ВС .
М((6+(-1))/2; (2+8)/2) = (2,5; 5).
Вектор АМ: (2,5-4; 5-(-4) = (-1,5; 9).
Уравнение АМ: (х - 4) / (-1,5) = (у + 4) / 9
Знаменатели умножим на 2 и получим с целыми коэффициентами:
(х - 4) / (-3) = (у + 4) / 18
18х - 72 = -3у - 12
18х + 3у - 60 = 0 или, сократив на 3, АМ: 6х + у - 20 = 0.
у = -6х +20.
г) точку пересечения медианы АМ и высоты СH.
Составляем систему уравнений.
АМ: 6х + у - 20 = 0. |x(-3) = -18x - 3y + 60 = 0.
СН: х + 3у - 23 = 0. х + 3у - 23 = 0.
-17x + 37 = 0
x = 37/17 ≈ 2,17647.
y = 20 - 6x = 20 - (6*37/17) = 118 / 17 ≈ 6,94118.
д) уравнение прямой, проходящей через точку C параллельно стороне AB.
С (-1; 8), А(4;-4) B(6;2). Прямую обозначим СК. Угловой коэффициент к(СК) = к(АВ).
СК: у = 3х + в. Подставим координаты точки С.
8 = 3*(-1) + в, в = 8 + 3 = 11.
СК: у = 3х + 11.
e) Расстояние от точки С до прямой АВ. Это модуль высоты СН.
Находим координаты точки Н как точки пересечения СН и АВ.
СН: х + 3у - 23 = 0. х + 3у - 23 = 0.
АВ: 3х - у - 16 = 0. |x3 = 9х - 3у - 48 = 0
10x - 71 = 0.
х(Н) = 71/10 = 7,1.
у(Н) = 3x - 16 = 3*7,1 - 16 =5,3.
Вектор СН = (7,1 - (-1); 5,3 - 8) = (8,1; -2,7).
Модуль СН = √((8,1)² + (-2,7²) = √72,9 ≈ 8,53815.
По теореме о сумме всех углов в треугольнике находим третий угол:
∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - (30° + 50°) = 180° - 80° = 100°
ответ: 100°