Для того, чтобы четырехугольник мог быть вписан в окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы его противоположных сторон были равны. Обозначим 1 часть за x, тогда:
1). Стороны четырехугольника равны 7x, 3x, 2x, 6x в порядке следования, а суммы противоположных сторон равны:
7x+2x=3x+6x => 9x=9x, верно, значит такой четырехугольник может быть вписан в окружность.
2). Стороны четырехугольника равны 5x, 4x, 3x, 6x в порядке следования, а суммы противоположных сторон равны:
5x+3x=4x+6x => 8x≠10x, неверно, значит такой четырехугольник не может быть вписан в окружность.
ответ: 1). Да, может; 2). Нет, не может.
Заметим, что
CHB = 180o- BAC = 180o-60o = 120o.
Пусть CC1 и BB1 — высоты треугольника ABC . Из прямоугольных треугольников CC1B и BB1C находим, что
BCH = 90o- ABC = 90o-50o = 40o, CBH = CBB1=90o-70o=20o.
Точка O — центр описанной окружности треугольника ABC , поэтому
COB = 2 BAC = 2· 60o = 120o, OCB= OBC = 30o,
значит,
OCH = BCH - BCO = 40o- 30o = 10o.
Из точек H и O , лежащих по одну сторону от прямой BC , отрезок BC виден под одним и тем же углом ( 120o ), значит, точки B , O , H и C лежат на одной окружности. Следовательно,
COH = CBH = 90o- 70o= 20o,
CHO = 180o - OCH - COH = 180o-10o-20o=150o.
6
Объяснение:
Т. к. Окружность вписана в треуг АВС, то
АВ, АС,ВС – касательные и по свойству
касательных, проведённых из одной точки:
АМ = АК = 3, ВЕ = ВМ = 2, СК = СЕ = r
По теореме Пифагора: a^2 + b^2 = c^2
(2 + r)^2 + (3 + r)^2 = 5^2
r^2+4r+4 + r^2+6r+9=25
2r^2+10r-12=0 решаем квадратное уравнение, получаем
x1=1 , x2=-6 принимаем x1=1, так как радиус не может быть отрицательным
находим стороны a , b
a=2+1 = 3 , b=3+1=4
S=1/2*a*b=1/2*3*4=12/2=6