19.6. Каково взаимное расположение прямой и окружности , если радиус окружности равен 3 см, а расстояние от центра окружности до прямой равно: а) 2 см; б) 3 см; в) 4 см?
Так как точки S и T лежат как на малой, так и на большой окружностях, то SM=TM – радиусы малой окружности, а SN=TN – радиусы большой окружности. Следовательно, треугольники STM и STN – равнобедренные с основанием ST. Отсюда следует, что треугольники TMN=SMN по трем сторонам. Так как в равных треугольниках углы также равны, то получаем, что , а значит, MN – биссектриса равнобедренного треугольника SNT. Но биссектриса в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, также является высотой, следовательно .
Обозначим точку касания как К. Соединим К с центром О. ОК - радиус окружности и перпендикулярен касательной по определению. Более того, он проходит через середину хорды АВ и перпендикулярен ей. Доказательство: АВ параллельно касательной К, следовательно ОК перпендикулярно АВ, поскольку перпендикулярно касательной. Соединим О с концами хорды АВ и получим равнобедренный треугольник АВО, в котором высота ОК является одновременно и медианой, т.е хорда АВ делится пополам. Следовательно отрезок соединяющий точку касания и точку пересечения хорды с радиусом ОК является искомым расстоянием. Обозначим точку пересечения хорды АВ с радиусом ОК через D. Тогда нам надо найти отрезок КD. Рассмотрим треугольник АОD. Он прямоугольный. АО - гипотенуза и равна 65 по условию, т.к. она радиус. АD - катет и равен половине АВ, т.е. 63. Далее по теореме Пифагора находим второй катет - АО. И находим расстояние. Это будет ОК-АО.
