Question

Точка M на стороне AD прямоугольника ABCD такова, что AB=AM=MD/2. Найдите сумму ∠CAD+∠CMD.

Answer 1

Чтобы найти сумму углов ∠CAD и ∠CMD, нам нужно первым делом разобраться с равенствами сторон и углов в данной задаче.

Известно, что AB = AM = MD/2. Можем записать это равенство в виде уравнения:
AB + BM = MD/2 + BM.

Из прямоугольника ABCD мы знаем, что противоположные стороны равны. Значит, AB = CD и AD = BC.
Также мы знаем, что противоположные углы в прямоугольнике равны, то есть ∠CAD = ∠ABC.

Перепишем уравнение:
CD + BM = MD/2 + BM.

Поскольку AB = CD, то BM также равно AD.
Для удобства, обозначим BM и AD буквами x и y соответственно.
Теперь уравнение примет вид:
x + y = y/2 + x.

Разделим обе части уравнения на 2:
2x + 2y = y + 2x.

Теперь вычтем y и 2x из обоих частей уравнения:
2y - y = 2x - 2x.

Упростим:
y = 0.

Заметим, что получилось, что y равно нулю. Это означает, что прямоугольник ABCD является вырожденным случаем, когда AD становится прямой линией. В этом случае ∠CAD равен 90 градусам.

Также, учитывая вырожденность прямоугольника, ∠CMD будет являться продолжением AD, следовательно, ∠CMD равен 90 градусам.

Наконец, найдем сумму ∠CAD и ∠CMD:
∠CAD + ∠CMD = 90 + 90 = 180 градусов.