« На 4 » Вариант 1 1. Сторона квадрата равна 32 см. Найдите его диагональ. 2. Диагональ прямоугольника равна 34 см. Найдите стороны прямоугольника, если их длины относятся как 15:8.
Строго говоря, теорема Птолемея дает необходимое и достаточное условие того, что около четырехугольника можно описать окружность. Но если честно, я ни разу не встречал задачу, в которой пришлось бы использовать достаточность. То есть всегда бывает дано, что четырехугольник вписан в окружность, и отсюда делается соответствующий вывод. Предлагаю в таком виде теорему и формулировать.
Теорема Птолемея. Если четырехугольник ABCD вписан в окружность, то произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон
AC·BD=AB·CD+AD·BC.
Меня всегда удивлял тот факт, что в этой теореме приходится перемножать противоположные стороны. Как-то далеко друг от друга они расположены. Вот если бы соседние перемножались, то никакого предубеждения у меня не возникало бы. Это и дало толчок к моему доказательству.
Найдем площадь ABCD двумя
Во-первых, эта площадь равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними - эта формула, как мне кажется, школьникам должна быть известна.
Доказывается она либо разбиением четырехугольника диагоналями на 4 треугольника, либо более красиво - рассматривая его как половину (по площади) параллелограмма, чьи стороны параллельны диагоналям четырехугольника и проходят через его вершины,
Если обозначить угол между диагоналями буквой Ф, то
S=(1/2)AC·BD·sin Ф
Угол Ф - это угол между хордами AC и BD, а он, как известно из школьной программы, равен полусумме дуг AB и CD, высекаемых этими хордами. Через вписанные углы он выражается в виде суммы углов BCA и CBD. Запомним это.
Во-вторых, более или менее естественно попробовать сосчитать площадь ABCD как сумму площадей двух треугольников, скажем ABC и ADC, но в этом случае мы будем получать произведения соседних сторон, а не противоположных. Выйдем из положения не совсем обычным Отрежем от четырехугольника треугольник ABC (останется нетронутым треугольник ADC) , перевернем ABC другой стороной и "приклеим" на старое место. Если Вы не любите "играть в бирюльки" и хотите "математическое рассуждение", то вот оно. Рассмотрите диаметр окружности, перпендикулярный AC, и рассмотрите точку B', симметричную точке B относительно этого диаметра. Конечно, она снова лежит на окружности, при этом AB=CB'; BC=B'A. Иными словами, мы получили четырехугольник AB'CD, площадь которого равна площади старого, с теми же сторонами, но теперь те стороны, которые были противоположными, стали соседними. Разобьем четырехугольник AB'CD на два треугольника так, чтобы их сторонами были бывшие противоположные. Тогда
(углы DAC и DBC опираются на одну дугу и поэтому равны, углы CAB' и BCA опираются на равные хорды B'C и AB и поэтому равны).
Сравнив две полученные формулы для площади ABCD, получаем искомую формулу.
Пример на использование теоремы Птолемея.
Четырехугольник ABCD вписан в окружность, AB=1, AC=2, AD=6/5, ∠ADC=90°. Найти BD.
Решение. ∠ADC=90°⇒∠ABC=90°, то есть ABCD разбит диагональю AC на два прямоугольных треугольника. С теоремы Пифагора находим неизвестные катеты этих треугольников: BC=√3; CD=8/5. По теореме Птолемея BD·AC=AB·CD+BC·AD; 2BD=8/5+6√3/5; BD=(4+3√3)/5
Заканчивая сей опус, хочу извиниться за то, что не сейчас сделать чертеж - очень много дел запланировано на этот вечер. Если кто-нибудь сделает мне его - отдам все заработанные на этой задаче .)))
1)
дано:
f=5000н
s=1000м
найти: а
решение:
a=f*s
a=5000н*1000м=5000000дж=5мдж
ответ: 5мдж
2)
дано: си: решение:
t=1ч 3600с n=a: t
f=120н a=f*s
s=1 км 1000м a=120н*1000м=120000дж
найти: n n=120000: 3600с=33.3 вт
ответ: 33.3 вт
3)
дано:
m=30 кг
s=h=20 м
u=2м/c
найти: n
решение:
n=a: t
a=f*s
t=u: s
t=20м: 2м/с=10c
f=m*g
f=30 кг*10н/кг=300h
a=300h*20м=6000дж
n=6000дж: 10с=600 вт
ответ: 600 вт
4)
m=300 кг
s=h=16 м
g=10н/кг
найти: а
решение:
а=f*s
f=m*g
f=300 кг*10 н/кг=3000н
а=3000н*16 м=48000дж=48кдж
ответ: 48кдж
5)
дано: си: решение:
s=100м n=a: t
t=6,25 с а=f*s
fт=3кн 3000н fт=f
найти: n а=3000н*100м=300000дж
n=300000дж: 6.25с=48000вт=48квт
ответ: 48квт