Question

В треугольнике ABC провели медиану AM. из точек B и C на прямой AM опустили перпендикуляр BK и CN доказать что KM =NM ​

Answer 1

Для доказательства равенства KM и NM в треугольнике ABC, где M - точка пересечения медианы AM с прямыми BK и CN, будем использовать свойства медиан треугольника.

Шаг 1: Вспомним, что медиана треугольника делит ее на две равные части. Таким образом, AM делит треугольник ABC на два равных подтреугольника: ABM и ACM.

Шаг 2: Для начала докажем, что треугольники ABK и ACM равны.

- Рассмотрим треугольник ABK. У него у нас есть два равных угла: ABK и BAK, так как медиана AM является высотой и биссектрисой треугольника ABC.
- Аналогично, в треугольнике ACM у нас есть два равных угла: ACM и CAM, так как медиана AM также является высотой и биссектрисой треугольника ABC.

Так как у этих двух треугольников углы при основании AB и AC равны, то по свойству "основание-боковая сторона-боковая сторона" эти треугольники равны.

Шаг 3: У нас осталось доказать, что стороны KM и NM также равны.

- В треугольнике ABK у нас есть две равные стороны: KB и BA (равенство сторон AB и ABK было доказано выше).
- Аналогично, в треугольнике ACM у нас есть две равные стороны: MC и CA (равенство сторон AC и ACM было доказано выше).

Поскольку треугольники ABK и ACM равны, их стороны также равны: KB = MC и BA = CA.

Шаг 4: Если стороны KB и MC равны, то нужно доказать, что стороны KM и MN также равны.

- Рассмотрим треугольник AKM. У него две равные стороны: KA и AM (так как AM - медиана). И одна сторона KM, которую мы хотим доказать равной стороне MN.
- Аналогично, в треугольнике ANM у нас есть две равные стороны: NA (равна AM) и MN.

Поскольку треугольники AKM и ANM равны и у них две равные стороны, то их стороны KM и MN также равны.

Таким образом, было доказано, что KM = NM в треугольнике ABC с проведенной медианой AM и опущенными перпендикулярами BK и CN.