Свойства треугольника, изучающиеся в школе, за редким исключением, известны с античности.
Теорема Чевы была доказана в XI веке арабским учёным Юсуфом аль-Мутаманом ибн Худом, однако его доказательство было забыто. Она была доказана вновь итальянским математиком Джованни Чевой в 1678 году.
Дальнейшее изучение треугольника началось в XVII веке: была доказана теорема Дезарга (1636), открыты некоторые свойства точки Торричелли (1659). В XVIII веке была обнаружена прямая Эйлера и окружность шести точек (1765). В 1828 году была доказана теорема Фейербаха. В начале XIX века была открыта точка Жергонна.
Многие факты, связанные с треугольником, были открыты в конце XIX века. К этому времени относится творчество Эмиля Лемуана, Анри Брокара, Жозефа Нейберга,Пьера Сонда́.
Поместим параллелепипед ABCDA1B1C1D1 в систему координат вершиной В в начало, стороной ВА по оси Ох, ВС - по оси Оу.
Используя данные задания, находим координаты вершин четырёхугольника сечения (это параллелограмм, так секущая плоскость пересекает параллельные плоскости).
К(4; 0; 4), В2(0; 0; 6), С2(0; 6; 4) и L(4; 6; 2).
Для простоты обозначим их А, В, С и Д.
Найдем вектор по координатам точек:
AB = {Bx - Ax; By - Ay; Bz - Az} = {0 - 4; 0 - 0; 6 - 4} = {-4; 0; 2}
AC = {Cx - Ax; Cy - Ay; Cz - Az} = {4 - 4; 6 - 0; 2 - 4} = {0; 6; -2}
S = |AB × AC|
Найдем векторное произведение векторов:
c = AB × AC
AB × AC =
i j k
ABx ABy ABz
ACx ACy ACz
i j k
-4 0 2
0 6 -2 =
= i (0·(-2) - 2·6) - j ((-4)·(-2) - 2·0) + k ((-4)·6 - 0·0) = i (0 - 12) - j (8 - 0) + k (-24 - 0) = {-12; -8; -24}.
Найдем модуль вектора:
|c| = √(cx² + cy² + cz²) = √((-12)² + (-8)² + (-24)²) = √(144 + 64 + 576) = √784 = 28.
Это и есть площадь параллелограмма: S = 28.