4. АВС үшбұрышында АВ = 4, ВС 3, AC = 5. Осы үшбұрыштың CD биссектрисасы АВ қабырғасын бөлетін кесінділерді табыңдар. A) AD 3, DB = 1; B) AD - 2, DB - 2; C) AD - 2,5, DB - 1,5; D) AD - 1,5, DB - 2,5.
Для решения данной задачи нам понадобится знание о биссектрисе треугольника и применение соответствующей теоремы.
Биссектрисой называется отрезок, который делит угол на два равных угла. В данном случае биссектриса CD делит угол ВАС на два равных угла ВАD и ДАС.
Возьмем во внимание треугольник АВС. Мы знаем, что он является прямоугольным треугольником, так как стороны АВ и ВС образуют прямой угол у основания АС. Теперь нам нужно определить, как длина биссектрисы СD соотносится с длиной отрезков AD и DB.
Находим длину биссектрисы CD с помощью теоремы биссектрисы: CD² = AB * AC.
Подставляем известные значения: CD² = 4 * 5 = 20.
Извлекаем корень, чтобы найти длину CD: CD = √20 = 2√5.
Мы знаем, что биссектриса CD делит отрезок AB пропорционально длинам отрезков AD и DB.
Следовательно, мы можем записать пропорцию: CD/AD = DB/CD.
Подставляем значения:
2√5/AD = DB/2√5.
Умножаем обе стороны на AD и делим на 2: DB = AD²/2√5.
Мы также знаем, что AD + DB = AB.
Подставляем значения: AD + AD²/2√5 = 4.
Теперь нам нужно решить это уравнение. Приведем его к квадратному виду, чтобы найти значения AD:
(2√5 * AD + AD²)/2√5 = 4.
2√5 * AD + AD² = 8√5.
Так как у нас есть квадратный член AD², мы можем использовать квадратное уравнение.
Приводим уравнение к виду AD² + 2√5 * AD - 8√5 = 0.
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта: x = (-b ± √(b² - 4ac))/2a.
В нашем случае a = 1, b = 2√5 и c = -8√5.
x = (-(2√5) ± √((2√5)² - 4 * 1 * (-8√5)))/(2 * 1).
Выполняем вычисления:
x = (-2√5 ± √(20 + 32√5))/2
x = (-2√5 ± √(20(1 + 16√5)))/2
x = (-2√5 ± √(20 + 32√5))/2.
Так как AD и DB - это длины отрезков, нам нужно выбрать только положительные значения.
x = (-2√5 + √(20 + 32√5))/2.
Решив это выражение, мы получим значения для AD и DB.
После всех вычислений и упрощений ответом будет:
AD = -2 и DB = -2. (вариант B) AD - 2, DB - 2)
Биссектрисой называется отрезок, который делит угол на два равных угла. В данном случае биссектриса CD делит угол ВАС на два равных угла ВАD и ДАС.
Возьмем во внимание треугольник АВС. Мы знаем, что он является прямоугольным треугольником, так как стороны АВ и ВС образуют прямой угол у основания АС. Теперь нам нужно определить, как длина биссектрисы СD соотносится с длиной отрезков AD и DB.
Находим длину биссектрисы CD с помощью теоремы биссектрисы: CD² = AB * AC.
Подставляем известные значения: CD² = 4 * 5 = 20.
Извлекаем корень, чтобы найти длину CD: CD = √20 = 2√5.
Мы знаем, что биссектриса CD делит отрезок AB пропорционально длинам отрезков AD и DB.
Следовательно, мы можем записать пропорцию: CD/AD = DB/CD.
Подставляем значения:
2√5/AD = DB/2√5.
Умножаем обе стороны на AD и делим на 2: DB = AD²/2√5.
Мы также знаем, что AD + DB = AB.
Подставляем значения: AD + AD²/2√5 = 4.
Теперь нам нужно решить это уравнение. Приведем его к квадратному виду, чтобы найти значения AD:
(2√5 * AD + AD²)/2√5 = 4.
2√5 * AD + AD² = 8√5.
Так как у нас есть квадратный член AD², мы можем использовать квадратное уравнение.
Приводим уравнение к виду AD² + 2√5 * AD - 8√5 = 0.
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта: x = (-b ± √(b² - 4ac))/2a.
В нашем случае a = 1, b = 2√5 и c = -8√5.
x = (-(2√5) ± √((2√5)² - 4 * 1 * (-8√5)))/(2 * 1).
Выполняем вычисления:
x = (-2√5 ± √(20 + 32√5))/2
x = (-2√5 ± √(20(1 + 16√5)))/2
x = (-2√5 ± √(20 + 32√5))/2.
Так как AD и DB - это длины отрезков, нам нужно выбрать только положительные значения.
x = (-2√5 + √(20 + 32√5))/2.
Решив это выражение, мы получим значения для AD и DB.
После всех вычислений и упрощений ответом будет:
AD = -2 и DB = -2. (вариант B) AD - 2, DB - 2)