рассмотрим треугольники abc и a1b1c1, у которых ав = a1b1, ас = a1c1 ∠ а = ∠ а1 (см. рис.2). докажем, что δ abc = δ a1b1c1.
так как ∠ а = ∠ а1, то треугольник abc можно наложить на треугольник а1в1с1 так, что вершина а совместится с вершиной а1, а стороны ав и ас наложатся соответственно на лучи а1в1 и a1c1. поскольку ав = a1b1, ас = а1с1, то сторона ав совместится со стороной а1в1 а сторона ас — со стороной а1c1; в частности, совместятся точки в и в1, с и c1. следовательно, совместятся стороны вс и в1с1. итак, треугольники abc и а1в1с1 полностью совместятся, значит, они равны.
если площадь правильного треугольника равна S, то
S=a^2*корень(3)/4
cторона треугольника равна
a=2*корень (S*корень(3)/3)
радиус вписанной окружности равен
r=a*корень(3)/6
r=2*корень (S*корень(3)/3)*корень(3)/6=корень (S*корень(3))/3
длина вписанной окружности равна C=2*pi*r
C=2*pi*корень (S*корень(3))/3=2/3*pi*корень (S*корень(3))