Если из точки, с которой проведены перпендикуляры к сторонам многоугольника провести еще и прямые соединяющие концы сторон многоугольника, то мы получим n-теугольников. Площадь одного такого треугольника равна
(1/2)*l*a, где l – перпендикуляр к стороне многоугольника, а а-сторона многоугольника.
Сложив площади всех треугольников, мы получим площадь многоугольника S=(n/2)*(l1+l2+… +ln)*a
С другой стороны, площадь многоугольника вписанного в окружность равна
S=r*n*a/2
То есть
(n/2)*(l1+l2+… +ln)*a= r*n*a/2
То есть
(l1+l2+… +ln)*a= r*a
Что и надо было доказать
Радиус окружности описанной вокруг многоугольника определяется по формуле
R=a/(2*sin(360/2*n)))
Откуда
а=2R*sin(360/2n)
Для правильного треугольника
a=2*5*sin(60°)=10*sin(60°)=5*sqrt(3)
Для правильного 9-угольника
a=2*5*sin(20°)=10*sin(20°)
Для правильного 18-угольника
a=2*5*sin(10°)=10*sin(10°)
то есть
AB=5*sqrt(3)
BC=10*sin(20°)
CD=10*sin(10°)
Вокруг четырехугольника можно описать окружность если сумы противоположных сторон равны, то есть
AB+CD=BC+AD
5*sqrt(3)+10*sin(10°)=10*sin(20°)+AD
AD= 5*sqrt(3)+10*sin(10°)-10*sin(20°)=
=5*sqrt(3)+10*(sin(10°)-sin(20°))
решение представлено на фото