Question

Даны векторы а ⃗(2;0), в ⃗(1;2), с ⃗(-3;m). Найдите значение m, при котором векторы
А)в ⃗ и а ⃗-2с ⃗ перпендикулярны.
В) в ⃗ + а ⃗ и с ⃗ коллинеарны

Answer 1

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать свойства перпендикулярности и коллинеарности векторов.

A) Для того чтобы вектор в ⃗ и вектор а ⃗-2с ⃗ были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно нулю. Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат.
Итак, рассмотрим скалярное произведение данных векторов:

(1, 2) ⋅ (2, 0 - 2(-3,m))
= (1)⋅(2) + (2)⋅(0 - 2(-3,m))
= 2 + 0 + 12m
= 2 + 12m

Таким образом, чтобы векторы в ⃗ и а ⃗-2с ⃗ были перпендикулярны, скалярное произведение должно быть равно нулю:

2 + 12m = 0

Для решения данного уравнения найдем значение m:

12m = -2
m = (-2)/12
m = -1/6

Таким образом, значение m, при котором векторы в ⃗ и а ⃗-2с ⃗ перпендикулярны, равно -1/6.

B) Чтобы векторы в ⃗ + а ⃗ и с ⃗ были коллинеарными, они должны быть пропорциональными. Это означает, что можно записать:

в ⃗ + а ⃗ = k⋅с ⃗,

где k - некоторое число.
Распишем это равенство с учетом данных векторов:

(1, 2) + (2, 0) = k⋅(-3,m)
(1 + 2, 2 + 0) = (-3k, -mk)

(3, 2) = (-3k, -mk)

Теперь сравним соответствующие координаты:

3 = -3k ---> k = (-3)/3 = -1
2 = -mk ---> m = (-2)/(-1) = 2

Таким образом, значение m, при котором векторы в ⃗ + а ⃗ и с ⃗ коллинеарны, равно 2.

Итак, ответ:
A) Значение m, при котором векторы в ⃗ и а ⃗-2с ⃗ перпендикулярны, равно -1/6.
B) Значение m, при котором векторы в ⃗ + а ⃗ и с ⃗ коллинеарны, равно 2.