Для нахождения угла между плоскостями CDA1 и CB1D1 мы можем использовать понятие векторного произведения двух векторов, которое позволяет нам найти угол между двумя плоскостями.
Шаг 1: Нашей первой задачей будет найти векторы, лежащие в плоскостях CDA1 и CB1D1.
Вспомним, что векторное произведение двух векторов равно произведению модулей векторов на синус угла между ними. Таким образом, если мы найдем модули векторов и величину синуса угла между ними, то сможем найти искомый угол.
Шаг 2: Найдем два вектора, лежащие в плоскости CDA1.
В прямоугольном параллелепипеде BC и AD перпендикулярны друг другу (так как они лежат на одной плоскости, а при этом имеют только одну общую точку). Таким образом, вектор BC будет перпендикулярен плоскости CDA1. Поскольку прямоугольный параллелепипед является параллелограммом, его стороны AD и B1C1 также будут параллельны. Следовательно, вектор АD будет параллелен плоскости CDA1.
Шаг 3: Выразим эти векторы через исходные векторы AB и AA1.
Вектор BC можно выразить как разность векторов AB и AC1 (BC = AB - AC1).
Вектор AD можно выразить как сумму векторов AA1 и AB (AD = AA1 + AB).
Шаг 4: Найдем модули векторов BC и AD.
Модуль вектора BC равен длине отрезка BC, который можно найти с помощью теоремы Пифагора. В прямоугольном треугольнике ABC1 длина гипотенузы BC равна √(AB^2 + AC1^2). Значения AB и AC1 равны 2 и 1 соответственно, поэтому BC = √(2^2 + 1^2) = √5.
Модуль вектора AD равен длине отрезка AD, которую мы также можем найти с помощью теоремы Пифагора. В прямоугольном треугольнике ADA1 длина гипотенузы AD равна √(AA1^2 + AB^2). Значения AA1 и AB равны 1 и 2 соответственно, поэтому AD = √(1^2 + 2^2) = √5.
Шаг 5: Найдем величину синуса угла между векторами BC и AD.
Синус угла между векторами BC и AD можно найти, используя их векторное произведение и модули векторов:
sin(θ) = (длина векторного произведения BC и AD) / (модуль BC * модуль AD).
Векторное произведение BC и AD можно найти как модуль вектора BC, умноженный на модуль вектора AD, умноженный на синус угла между ними:
|BC x AD| = √(BC^2 * AD^2 - (BC * AD)^2) = √((√5)^2 * (√5)^2 - (√5 * √5)^2) = √(5 * 5 - 5 * 5) = √0 = 0.
Теперь мы можем найти синус угла θ:
sin(θ) = (0) / (√5 * √5) = 0.
Шаг 6: Найдем сам угол θ.
Мы знаем, что sin(θ) = 0. Исходя из определения синуса, это означает, что θ равен 0° или 180°. Однако в данном контексте θ не может быть равен 180°, так как это означало бы, что плоскости CDA1 и CB1D1 параллельны и не образуют угол между собой. Таким образом, θ равен 0°.
Ответ: Угол между плоскостями CDA1 и CB1D1 составляет 0°.
Шаг 1: Нашей первой задачей будет найти векторы, лежащие в плоскостях CDA1 и CB1D1.
Вспомним, что векторное произведение двух векторов равно произведению модулей векторов на синус угла между ними. Таким образом, если мы найдем модули векторов и величину синуса угла между ними, то сможем найти искомый угол.
Шаг 2: Найдем два вектора, лежащие в плоскости CDA1.
В прямоугольном параллелепипеде BC и AD перпендикулярны друг другу (так как они лежат на одной плоскости, а при этом имеют только одну общую точку). Таким образом, вектор BC будет перпендикулярен плоскости CDA1. Поскольку прямоугольный параллелепипед является параллелограммом, его стороны AD и B1C1 также будут параллельны. Следовательно, вектор АD будет параллелен плоскости CDA1.
Шаг 3: Выразим эти векторы через исходные векторы AB и AA1.
Вектор BC можно выразить как разность векторов AB и AC1 (BC = AB - AC1).
Вектор AD можно выразить как сумму векторов AA1 и AB (AD = AA1 + AB).
Шаг 4: Найдем модули векторов BC и AD.
Модуль вектора BC равен длине отрезка BC, который можно найти с помощью теоремы Пифагора. В прямоугольном треугольнике ABC1 длина гипотенузы BC равна √(AB^2 + AC1^2). Значения AB и AC1 равны 2 и 1 соответственно, поэтому BC = √(2^2 + 1^2) = √5.
Модуль вектора AD равен длине отрезка AD, которую мы также можем найти с помощью теоремы Пифагора. В прямоугольном треугольнике ADA1 длина гипотенузы AD равна √(AA1^2 + AB^2). Значения AA1 и AB равны 1 и 2 соответственно, поэтому AD = √(1^2 + 2^2) = √5.
Шаг 5: Найдем величину синуса угла между векторами BC и AD.
Синус угла между векторами BC и AD можно найти, используя их векторное произведение и модули векторов:
sin(θ) = (длина векторного произведения BC и AD) / (модуль BC * модуль AD).
Векторное произведение BC и AD можно найти как модуль вектора BC, умноженный на модуль вектора AD, умноженный на синус угла между ними:
|BC x AD| = √(BC^2 * AD^2 - (BC * AD)^2) = √((√5)^2 * (√5)^2 - (√5 * √5)^2) = √(5 * 5 - 5 * 5) = √0 = 0.
Теперь мы можем найти синус угла θ:
sin(θ) = (0) / (√5 * √5) = 0.
Шаг 6: Найдем сам угол θ.
Мы знаем, что sin(θ) = 0. Исходя из определения синуса, это означает, что θ равен 0° или 180°. Однако в данном контексте θ не может быть равен 180°, так как это означало бы, что плоскости CDA1 и CB1D1 параллельны и не образуют угол между собой. Таким образом, θ равен 0°.
Ответ: Угол между плоскостями CDA1 и CB1D1 составляет 0°.