Построим сечение пирамиды плоскостью ABK. K∈ грани PCD. 1) Отметим для определенности вершины основания пирамиды таким образом: На заднем плане слева направо D и A, на переднем слева направо C и B AB паралл CD. CD∈PCD. AB∉PCD. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости. Значит, AB парал плоскости PCD. Или грань PCD парал AB. Точка K∈PCD. В этом случае секущая плоскость будет пересекать эту грань по отрезку KL парал следу AB. L∈PD⇒ABKL - секущая плоскость. Это будет равнобедренная трапеция KL - линия пересечения плоскостей ABK и PCD. KL∉ABC - плоскости основания пирамиды KL парал AB - по построению AB∈ плоскости ABC⇒KL парал ABC по выше указанной теореме. 2) Нужно найти площадь ABKL. Отметим точки и соединим их: E - середина KL; N - середина AB. EN - высота трапеции. S=1/2(KL+AB)*EN AB=12 - по условию a) Для нахождения KL рассмотрим тр-ки PCD и PKL. Они подобны. Из подобия записываем пропорциональность сторон: CD:KL=PC:PK РК:КС=1:3⇒PC:CK=4:1⇒CD:KL=4:1⇒KL=1/4*CD=1/4*12=3 Итак, KL=3 б) Теперь займемся поиском EN. Проведем апофемы PM и PN, где PM∈ грани PCD, PN∈ грани PAB O - центр основания (точка пересечения диагоналей AC и BD) Соединим точки M и N. O∈MN. MN=12 Так как каждое ребро равно 12, то боковые грани - равносторонние тр-ки Апофемы - высоты равносторонних тр-ков. Если a - сторона правильного тр-ка, то a√3/2 - его высота. Значит, PM=PN=12*√3/2=6√3 Построим отдельно тр-ник MPN. Он - равнобедренный Соединяем точки E и N. PO - его высота. MO=ON=6⇒по теореме Пифагора PO^2=PM^2-MO^2=(6√3)^2-6^2=6^2(3-1)=36-2=72⇒PO=√72=√36*2=6√2 Проведем EF парал PO. Тогда EN можно найти из тр-ка EFN. Для этого нужно знать длины отрезков EF и FN. Из подобия выше рассмотренных тр-ков PM:PE=4:1 Рассмотрим тр-ки OMP и FME. Они подобны⇒ MP:ME=PO:EF=MO:MF MP:ME=4:3⇒EF=3/4*PO=3/4*6√2=9/2*√2; MF=3/4*MO=3/4*6=9/2 FN=FO+ON=OM-MF+ON=MN-MF=12-9/2=15/2 EN^2=EF^2+FN^2=(9/2*√2)^2+(15/2)^2=(3/2)^2*3^2*2+(3/2)^2*5^2= =(3/2)^2*(18+25)=43*(3/2)^2⇒ EN=3/2*√43 - высота трапеции
После победы над персами наступает блестящая эпоха в афин. афины становятся могущественной морской державой с высокоразвитыми ремеслами, кораблестроением и торговлей. много свободных и рабов из пленных, захваченных во время войны, работало в мастерских, рудниках, на строительстве, во флоте. после окончания войн источником обогащения афинской казны стал морской союз, организованный афинами для борьбы с персией на море. денежные взносы союзников, предназначавшиеся на постройку военных кораблей, афиняне стали расходовать на нужды своего государства. v век до нашей эры называют «золотым веком» в афин. в это время афины обогатили мировую культуру такими ценностями, которые, по словам афинского , достойны быть «предметом удивления для современников и потомков» . это время расцвета демократии. все свободные граждане получали право участвовать в государством. главным государственным учреждением было народное собрание, в котором могли участвовать все афинские граждане. народное собрание созывалось обычно 3 раза в месяц, а в исключительных случаях еще чаще.
1) Отметим для определенности вершины основания пирамиды таким образом:
На заднем плане слева направо D и A, на переднем слева направо C и B
AB паралл CD. CD∈PCD. AB∉PCD.
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости. Значит, AB парал плоскости PCD. Или грань PCD парал AB.
Точка K∈PCD. В этом случае секущая плоскость будет пересекать эту грань по отрезку KL парал следу AB. L∈PD⇒ABKL - секущая плоскость. Это будет равнобедренная трапеция
KL - линия пересечения плоскостей ABK и PCD.
KL∉ABC - плоскости основания пирамиды
KL парал AB - по построению
AB∈ плоскости ABC⇒KL парал ABC по выше указанной теореме.
2) Нужно найти площадь ABKL. Отметим точки и соединим их:
E - середина KL; N - середина AB. EN - высота трапеции.
S=1/2(KL+AB)*EN
AB=12 - по условию
a) Для нахождения KL рассмотрим тр-ки PCD и PKL. Они подобны. Из подобия записываем пропорциональность сторон:
CD:KL=PC:PK
РК:КС=1:3⇒PC:CK=4:1⇒CD:KL=4:1⇒KL=1/4*CD=1/4*12=3
Итак, KL=3
б) Теперь займемся поиском EN.
Проведем апофемы PM и PN, где PM∈ грани PCD, PN∈ грани PAB
O - центр основания (точка пересечения диагоналей AC и BD)
Соединим точки M и N. O∈MN. MN=12
Так как каждое ребро равно 12, то боковые грани - равносторонние тр-ки
Апофемы - высоты равносторонних тр-ков. Если a - сторона правильного тр-ка, то a√3/2 - его высота. Значит, PM=PN=12*√3/2=6√3
Построим отдельно тр-ник MPN. Он - равнобедренный
Соединяем точки E и N.
PO - его высота. MO=ON=6⇒по теореме Пифагора
PO^2=PM^2-MO^2=(6√3)^2-6^2=6^2(3-1)=36-2=72⇒PO=√72=√36*2=6√2
Проведем EF парал PO. Тогда EN можно найти из тр-ка EFN. Для этого нужно знать длины отрезков EF и FN.
Из подобия выше рассмотренных тр-ков PM:PE=4:1
Рассмотрим тр-ки OMP и FME. Они подобны⇒
MP:ME=PO:EF=MO:MF
MP:ME=4:3⇒EF=3/4*PO=3/4*6√2=9/2*√2; MF=3/4*MO=3/4*6=9/2
FN=FO+ON=OM-MF+ON=MN-MF=12-9/2=15/2
EN^2=EF^2+FN^2=(9/2*√2)^2+(15/2)^2=(3/2)^2*3^2*2+(3/2)^2*5^2=
=(3/2)^2*(18+25)=43*(3/2)^2⇒
EN=3/2*√43 - высота трапеции
S=1/2(KL+AB)*EN=1/2*(3+12)*3/2*√43=45√43/4
ответ: S=45√43/4