Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 4 и 8 см, а боковое ребро образует со стороной большего основания угол 60°. Найдите боковую поверхность усеченной пирамиды. Во сколько раз она меньше боковой поверхности полной пирамиды, из которой получена данная усеченная пирамида?
В задаче у нас есть усеченная пирамида, у которой стороны оснований равны 4 и 8 см, а боковое ребро образует со стороной большего основания угол 60°.
Для начала, нам нужно найти высоту усеченной пирамиды. Для этого мы можем разбить пирамиду на две правильные треугольные пирамиды (большую и малую) и рассмотреть треугольник, образованный боковым ребром, стороной меньшего основания и высотой.
Из треугольника мы знаем две стороны и угол между ними. Мы можем воспользоваться формулой косинусов для нахождения третьей стороны.
Пусть x - высота усеченной пирамиды. Тогда одна из сторон треугольника равна 8 см (сторона большего основания) и угол между этой стороной и боковым ребром равен 60°. Другая сторона треугольника равна x (высота усеченной пирамиды).
Применяя формулу косинусов, получаем следующее уравнение:
x² = 8² + x² - 2 * 8 * x * cos(60°)
Вычислим значение косинуса 60°.
cos(60°) = 1/2
Подставляем этот результат в уравнение:
x² = 64 + x² - 8x
Упростим уравнение:
0 = 64 - 8x
8x = 64
x = 8
Таким образом, высота усеченной пирамиды равна 8 см.
Теперь мы можем найти боковую поверхность усеченной пирамиды. Для этого нужно сложить боковые поверхности двух треугольных пирамид (малой и большой).
Помним, что боковая поверхность треугольной пирамиды вычисляется по формуле:
S = (периметр основания * высота) / 2
Периметр основания малой пирамиды равен 4 см, поскольку все стороны равны. Периметр основания большей пирамиды равен 3 * 8 см = 24 см. Высота усеченной пирамиды равна 8 см (мы это уже вычислили).
Теперь можем найти боковые поверхности малой и большой пирамид:
S_малой = (4 * 8) / 2 = 16 см²
S_большой = (24 * 8) / 2 = 96 см²
Теперь найдем боковую поверхность усеченной пирамиды:
S_усеченной = S_малой + S_большой = 16 см² + 96 см² = 112 см²
Таким образом, боковая поверхность усеченной пирамиды равна 112 см².
Нам осталось найти, во сколько раз боковая поверхность усеченной пирамиды меньше боковой поверхности полной пирамиды, из которой получена данная усеченная пирамида.
Для этого сначала найдем боковую поверхность полной пирамиды. Формула для нее такая же, как и для усеченной пирамиды:
S_полной = (периметр основания * высота) / 2
Периметр основания полной пирамиды равен 8 см поскольку все стороны равны, а высота равна 8 см.
S_полной = (8 * 8) / 2 = 32 см²
Итак, боковая поверхность полной пирамиды равна 32 см².
Теперь мы можем найти, во сколько раз боковая поверхность усеченной пирамиды меньше боковой поверхности полной пирамиды:
Во сколько раз S_усеченной меньше S_полной = S_полной / S_усеченной
= 32 см² / 112 см²
= 0.2857
Таким образом, боковая поверхность усеченной пирамиды меньше боковой поверхности полной пирамиды примерно в 0.2857 раза.